Để giải các bất phương trình (bpt) sau, ta sẽ thực hiện từng bước để tìm nghiệm.

### Bất phương trình 1

\[
\frac{(x-2)^2}{5} + \frac{3(x-1)^2}{10} < x^2 + \frac{1}{2}
\]

1. **Nhân toàn bộ bất phương trình với 10 (bội chung nhỏ nhất của các mẫu số) để làm sạch mẫu số:**

\[
10 \cdot \left(\frac{(x-2)^2}{5} + \frac{3(x-1)^2}{10}\right) < 10 \cdot \left(x^2 + \frac{1}{2}\right)
\]

\[
2(x-2)^2 + 3(x-1)^2 < 10x^2 + 5
\]

2. **Mở rộng và giản ước các biểu thức:**

- \( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
- \( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \)

\[
2(x^2 - 4x + 4) + 3(x^2 - 2x + 1) < 10x^2 + 5
\]

\[
2x^2 - 8x + 8 + 3x^2 - 6x + 3 < 10x^2 + 5
\]

\[
5x^2 - 14x + 11 < 10x^2 + 5
\]

3. **Chuyển tất cả các hạng tử về một phía và rút gọn:**

\[
5x^2 - 14x + 11 - 10x^2 - 5 < 0
\]

\[
-5x^2 - 14x + 6 < 0
\]

\[
5x^2 + 14x - 6 > 0 \text{ (nhân với -1 và đổi dấu)}
\]

4. **Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình:**

\[
5x^2 + 14x - 6 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 5 \), \( b = 14 \), \( c = -6 \):

\[
x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6)}}{2 \cdot 5}
\]

\[
x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 120}}{10}
\]

\[
x = \frac{-14 \pm \sqrt{316}}{10}
\]

\[
x = \frac{-14 \pm 2\sqrt{79}}{10}
\]

\[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{79}}{5}
\]

5. **Tìm khoảng nghiệm cho bất phương trình \( 5x^2 + 14x - 6 > 0 \):**

- Nghiệm của phương trình là \( x_1 = \frac{-7 - \sqrt{79}}{5} \) và \( x_2 = \frac{-7 + \sqrt{79}}{5} \)
- Vì \( a > 0 \), bất phương trình có nghiệm ngoài khoảng \( \left(\frac{-7 - \sqrt{79}}{5}, \frac{-7 + \sqrt{79}}{5}\right) \).

Do đó:

\[
x \in (-\infty, \frac{-7 - \sqrt{79}}{5}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{79}}{5}, +\infty)
\]

### Bất phương trình 2

\[
x \frac{1.5 + 1}{6} - \frac{(2-x)^2}{4} \geq \frac{5x}{2} - 2
\]

1. **Rút gọn các biểu thức:**

\[
x \cdot \frac{2.5}{6} - \frac{(2-x)^2}{4} \geq \frac{5x}{2} - 2
\]

\[
\frac{5x}{12} - \frac{(2-x)^2}{4} \geq \frac{5x}{2} - 2
\]

2. **Nhân toàn bộ bất phương trình với 12 để làm sạch mẫu số:**

\[
12 \cdot \left(\frac{5x}{12} - \frac{(2-x)^2}{4}\right) \geq 12 \cdot \left(\frac{5x}{2} - 2\right)
\]

\[
5x - 3(2-x)^2 \geq 30x - 24
\]

3. **Mở rộng và giản ước các biểu thức:**

- \( (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2 \)

\[
5x - 3(4 - 4x + x^2) \geq 30x - 24
\]

\[
5x - 12 + 12x - 3x^2 \geq 30x - 24
\]

\[
5x + 12x - 3x^2 - 12 \geq 30x - 24
\]

\[
17x - 3x^2 - 12 \geq 30x - 24
\]

4. **Chuyển tất cả các hạng tử về một phía và rút gọn:**

\[
-3x^2 + 17x - 12 \geq 30x - 24
\]

\[
-3x^2 + 17x - 12 - 30x + 24 \geq 0
\]

\[
-3x^2 - 13x + 12 \geq 0
\]

\[
3x^2 + 13x - 12 \leq 0 \text{ (nhân với -1 và đổi dấu)}
\]

5. **Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình:**

\[
3x^2 + 13x - 12 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 3 \), \( b = 13 \), \( c = -12 \):

\[
x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12)}}{2 \cdot 3}
\]

\[
x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 144}}{6}
\]

\[
x = \frac{-13 \pm \sqrt{313}}{6}
\]

6. **Tìm khoảng nghiệm cho bất phương trình \( 3x^2 + 13x - 12 \leq 0 \):**

- Nghiệm của phương trình là \( x_1 = \frac{-13 - \sqrt{313}}{6} \) và \( x_2 = \frac{-13 + \sqrt{313}}{6} \)
- Vì \( a > 0 \), bất phương trình có nghiệm trong khoảng \( \left(\frac{-13 - \sqrt{313}}{6}, \frac{-13 + \sqrt{313}}{6}\right) \).

Do đó:

\[
x \in \left[\frac{-13 - \sqrt{313}}{6}, \frac{-13 + \sqrt{313}}{6}\right]
\]

Để giải các bất phương trình (bpt) sau, ta sẽ thực hiện từng bước để tìm nghiệm.

### Bất phương trình 1

(x−2)25+3(x−1)210<x2+12(x−2)25+3(x−1)210<x2+12

1. **Nhân toàn bộ bất phương trình với 10 (bội chung nhỏ nhất của các mẫu số) để làm sạch mẫu số:**

10⋅((x−2)25+3(x−1)210)<10⋅(x2+12)10⋅((x−2)25+3(x−1)210)<10⋅(x2+12)

2(x−2)2+3(x−1)2<10x2+52(x−2)2+3(x−1)2<10x2+5

2. **Mở rộng và giản ước các biểu thức:**

- (x−2)2=x2−4x+4(x−2)2=x2−4x+4
- (x−1)2=x2−2x+1(x−1)2=x2−2x+1

2(x2−4x+4)+3(x2−2x+1)<10x2+52(x2−4x+4)+3(x2−2x+1)<10x2+5

2x2−8x+8+3x2−6x+3<10x2+52x2−8x+8+3x2−6x+3<10x2+5

5x2−14x+11<10x2+55x2−14x+11<10x2+5

3. **Chuyển tất cả các hạng tử về một phía và rút gọn:**

5x2−14x+11−10x2−5<05x2−14x+11−10x2−5<0

−5x2−14x+6<0−5x2−14x+6<0

5x2+14x−6>0 (nhân với -1 và đổi dấu)5x2+14x−6>0 (nhân với -1 và đổi dấu)

4. **Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình:**

5x2+14x−6=05x2+14x−6=0

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a

Trong đó a=5a=5, b=14b=14, c=−6c=−6:

x=−14±√142−4⋅5⋅(−6)2⋅5x=−14±142−4⋅5⋅(−6)2⋅5

x=−14±√196+12010x=−14±196+12010

x=−14±√31610x=−14±31610

x=−14±2√7910x=−14±27910

x=−7±√795x=−7±795

5. **Tìm khoảng nghiệm cho bất phương trình 5x2+14x−6>05x2+14x−6>0:**

- Nghiệm của phương trình là x1=−7−√795x1=−7−795 và x2=−7+√795x2=−7+795
- Vì a>0a>0, bất phương trình có nghiệm ngoài khoảng (−7−√795,−7+√795)(−7−795,−7+795).

Do đó:

x∈(−∞,−7−√795)∪(−7+√795,+∞)x∈(−∞,−7−795)∪(−7+795,+∞)

### Bất phương trình 2

x1.5+16−(2−x)24≥5x2−2x1.5+16−(2−x)24≥5x2−2

1. **Rút gọn các biểu thức:**

x⋅2.56−(2−x)24≥5x2−2x⋅2.56−(2−x)24≥5x2−2

5x12−(2−x)24≥5x2−25x12−(2−x)24≥5x2−2

2. **Nhân toàn bộ bất phương trình với 12 để làm sạch mẫu số:**

12⋅(5x12−(2−x)24)≥12⋅(5x2−2)12⋅(5x12−(2−x)24)≥12⋅(5x2−2)

5x−3(2−x)2≥30x−245x−3(2−x)2≥30x−24

3. **Mở rộng và giản ước các biểu thức:**

- (2−x)2=4−4x+x2(2−x)2=4−4x+x2

5x−3(4−4x+x2)≥30x−245x−3(4−4x+x2)≥30x−24

5x−12+12x−3x2≥30x−245x−12+12x−3x2≥30x−24

5x+12x−3x2−12≥30x−245x+12x−3x2−12≥30x−24

17x−3x2−12≥30x−2417x−3x2−12≥30x−24

4. **Chuyển tất cả các hạng tử về một phía và rút gọn:**

−3x2+17x−12≥30x−24−3x2+17x−12≥30x−24

−3x2+17x−12−30x+24≥0−3x2+17x−12−30x+24≥0

−3x2−13x+12≥0−3x2−13x+12≥0

3x2+13x−12≤0 (nhân với -1 và đổi dấu)3x2+13x−12≤0 (nhân với -1 và đổi dấu)

5. **Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình:**

3x2+13x−12=03x2+13x−12=0

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a

Trong đó a=3a=3, b=13b=13, c=−12c=−12:

x=−13±√132−4⋅3⋅(−12)2⋅3x=−13±132−4⋅3⋅(−12)2⋅3

x=−13±√169+1446x=−13±169+1446

x=−13±√3136x=−13±3136

6. **Tìm khoảng nghiệm cho bất phương trình 3x2+13x−12≤03x2+13x−12≤0:**

- Nghiệm của phương trình là x1=−13−√3136x1=−13−3136 và x2=−13+√3136x2=−13+3136
- Vì a>0a>0, bất phương trình có nghiệm trong khoảng (−13−√3136,−13+√3136)(−13−3136,−13+3136).

Do đó:

x∈[−13−√3136,−13+√3136]