Để giải phương trình \(2xy - x - y = 3\) để tìm số nguyên \(x\) và \(y\), ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương trình số học và thử nghiệm các giá trị. Dưới đây là các bước cụ thể:

### 1. Biến đổi phương trình

Chúng ta bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình:

\[
2xy - x - y = 3
\]

Thêm 1 vào cả hai vế để có thể sử dụng phương pháp nhóm:

\[
2xy - x - y + 1 = 4
\]

Sau đó nhóm các hạng tử:

\[
2xy - x - y + 1 = (2xy - x - y + 1)
\]

Ta nhóm lại như sau:

\[
2xy - x - y + 1 = (2x - 1)(y - 1) + 1
\]

Như vậy:

\[
(2x - 1)(y - 1) = 4
\]

### 2. Giải phương trình sau biến đổi

Giờ chúng ta cần tìm các cặp giá trị \((x, y)\) sao cho:

\[
(2x - 1)(y - 1) = 4
\]

**Liệt kê tất cả các cặp số nguyên \((a, b)\) sao cho \(a \cdot b = 4\):**

1. \(a = 1\) và \(b = 4\)
2. \(a = -1\) và \(b = -4\)
3. \(a = 2\) và \(b = 2\)
4. \(a = -2\) và \(b = -2\)
5. \(a = 4\) và \(b = 1\)
6. \(a = -4\) và \(b = -1\)

**Tìm các giá trị của \(x\) và \(y\) từ các cặp \((a, b)\):**

1. **Khi \(2x - 1 = 1\) và \(y - 1 = 4\):**

- \(2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1\)
- \(y - 1 = 4 \implies y = 5\)

Ta có cặp giá trị \((x, y) = (1, 5)\).

2. **Khi \(2x - 1 = -1\) và \(y - 1 = -4\):**

- \(2x - 1 = -1 \implies 2x = 0 \implies x = 0\)
- \(y - 1 = -4 \implies y = -3\)

Ta có cặp giá trị \((x, y) = (0, -3)\).

3. **Khi \(2x - 1 = 2\) và \(y - 1 = 2\):**

- \(2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\) (không phải là số nguyên)

Không có giá trị nguyên trong trường hợp này.

4. **Khi \(2x - 1 = -2\) và \(y - 1 = -2\):**

- \(2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\) (không phải là số nguyên)

Không có giá trị nguyên trong trường hợp này.

5. **Khi \(2x - 1 = 4\) và \(y - 1 = 1\):**

- \(2x - 1 = 4 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}\) (không phải là số nguyên)

Không có giá trị nguyên trong trường hợp này.

6. **Khi \(2x - 1 = -4\) và \(y - 1 = -1\):**

- \(2x - 1 = -4 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}\) (không phải là số nguyên)

Không có giá trị nguyên trong trường hợp này.

### Kết quả

Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình \(2xy - x - y = 3\) là:

- \((x, y) = (1, 5)\)
- \((x, y) = (0, -3)\)