Để tính tổng của dãy số:

$S = 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \cdots + \frac{1}{506} + \frac{1}{552}$

ta cần xác định quy luật của dãy số và tính toán tổng của nó.

**1. Xác định quy luật của dãy số:**

Dãy số có dạng tổng quát:

$\frac{1}{n(n+11)}$

Chúng ta sẽ kiểm tra liệu quy luật này có phù hợp với các số trong dãy không.

**2. Phân tích và tính tổng:**

Để tìm tổng của dãy số, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp phân tích. Đầu tiên, phân tích từng số hạng trong dãy số:

$\frac{1}{n(n+11)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+11}$

Sử dụng phương pháp phân số vi phân để tìm giá trị của $A$ và $B$:

$\frac{1}{n(n+11)} = \frac{A(n+11) + Bn}{n(n+11)}$

So sánh hệ số, ta có:

$1 = A(n+11) + Bn$

$1 = (A + B)n + 11A$

Vì không có hệ số $n$ trong phần tử 1, nên:

$A + B = 0 \quad \text{và} \quad 11A = 1$

Giải hệ phương trình:

$A = \frac{1}{11}, \quad B = -\frac{1}{11}$

Do đó:

$\frac{1}{n(n+11)} = \frac{1}{11} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+11} \right)$

**3. Tính tổng dãy số:**

Với công thức phân tích trên, dãy số trở thành:

$S = \frac{1}{11} \left( \left(1 - \frac{1}{12}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{20}\right) + \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{30}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{506} - \frac{1}{552}\right) \right)$

Ta thấy dãy số có dạng chuỗi tách biệt, và các hạng tử giữa các số đều triệt tiêu lẫn nhau.

Vậy, tổng của dãy số là:

$S = \frac{1}{11} \left(1 - \frac{1}{552}\right) = \frac{1}{11} \left(\frac{552 - 1}{552}\right) = \frac{1}{11} \cdot \frac{551}{552} = \frac{551}{6062}$

**Kết luận:**

Tổng của dãy số là:

$S = \frac{551}{6062}$