Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích và tính toán dựa trên đạo hàm của các hàm số. Chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Phần a: Tìm \( m \) để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số \( f(x) = x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2 \).

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \):**
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2)
\]
\[
f'(x) = 3x^2 + 2(m+1)x + 3
\]

2. **Để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm \( f'(x) \) phải không đổi dấu trên toàn bộ miền \(\mathbb{R}\). Để \( f'(x) \geq 0 \) hoặc \( f'(x) \leq 0 \) với mọi \( x \), chúng ta cần kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai \( 3x^2 + 2(m+1)x + 3 \).**

Để \( f'(x) \) không có nghiệm thực, phương trình bậc hai \( 3x^2 + 2(m+1)x + 3 = 0 \) phải có delta nhỏ hơn hoặc bằng 0:
\[
\Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3
\]
\[
\Delta = 4(m+1)^2 - 36
\]
\[
\Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 36
\]
\[
\Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 36
\]
\[
\Delta = 4m^2 + 8m - 32
\]
\[
\Delta = 4(m^2 + 2m - 8)
\]
\[
\Delta \leq 0
\]
\[
m^2 + 2m - 8 \leq 0
\]

Giải bất phương trình bậc hai:
\[
m^2 + 2m - 8 = 0
\]
\[
(m + 4)(m - 2) = 0
\]
\[
m = -4 \quad \text{hoặc} \quad m = 2
\]

Do đó, \( m \) phải nằm trong khoảng:
\[
-4 \leq m \leq 2
\]

### Phần b: Tìm \( m \) để hàm số \( g(x) \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số \( g(x) = (x^2 - 1)x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4 \).

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( g(x) \):**
\[
g(x) = (x^2 - 1)x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4
\]
\[
g(x) = x^5 - x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4
\]
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4)
\]
\[
g'(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2(m - 1)x - 1
\]

2. **Để hàm số \( g(x) \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm \( g'(x) \) phải không đổi dấu trên toàn bộ miền \(\mathbb{R}\). Để \( g'(x) \geq 0 \) hoặc \( g'(x) \leq 0 \) với mọi \( x \), chúng ta cần kiểm tra điều kiện của phương trình bậc bốn \( 5x^4 - 3x^2 + 2(m - 1)x - 1 \).**

Đây là phương trình bậc bốn nên cần điều kiện phân tích phức tạp hơn. Một cách đơn giản hơn là thử nghiệm các giá trị cụ thể của \( m \) và xem liệu có thể đạt được điều kiện đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Cách giải thường là thử nghiệm một số giá trị của \( m \) hoặc sử dụng các công cụ số học để tìm các giá trị cụ thể.

Tuy nhiên, thường thì việc đảm bảo một hàm số bậc bốn luôn đồng biến đòi hỏi đạo hàm bậc hai không có nghiệm thực, dẫn đến hệ thống điều kiện tương tự như phương trình bậc hai đã giải ở phần a.

Tóm lại:
- Để hàm số \( f(x) = x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), cần \( -4 \leq m \leq 2 \).
- Để hàm số \( g(x) = (x^2 - 1)x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), cần thực hiện kiểm tra điều kiện cụ thể cho giá trị \( m \) hoặc thử nghiệm bằng cách cụ thể hóa hàm số.

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích và tính toán dựa trên đạo hàm của các hàm số. Chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Phần a: Tìm mm để hàm số f(x)f(x) đồng biến trên RR

Hàm số f(x)=x3+(m+1)x2+3x+2f(x)=x3+(m+1)x2+3x+2.

1. **Tính đạo hàm của hàm số f(x)f(x):**
f′(x)=ddx(x3+(m+1)x2+3x+2)f′(x)=ddx(x3+(m+1)x2+3x+2)
f′(x)=3x2+2(m+1)x+3f′(x)=3x2+2(m+1)x+3

2. **Để hàm số f(x)f(x) đồng biến trên RR, đạo hàm f′(x)f′(x) phải không đổi dấu trên toàn bộ miền RR. Để f′(x)≥0f′(x)≥0 hoặc f′(x)≤0f′(x)≤0 với mọi xx, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai 3x2+2(m+1)x+33x2+2(m+1)x+3.**

Để f′(x)f′(x) không có nghiệm thực, phương trình bậc hai 3x2+2(m+1)x+3=03x2+2(m+1)x+3=0 phải có delta nhỏ hơn hoặc bằng 0:
Δ=[2(m+1)]2−4⋅3⋅3Δ=[2(m+1)]2−4⋅3⋅3
Δ=4(m+1)2−36Δ=4(m+1)2−36
Δ=4(m2+2m+1)−36Δ=4(m2+2m+1)−36
Δ=4m2+8m+4−36Δ=4m2+8m+4−36
Δ=4m2+8m−32Δ=4m2+8m−32
Δ=4(m2+2m−8)Δ=4(m2+2m−8)
Δ≤0Δ≤0
m2+2m−8≤0m2+2m−8≤0

Giải bất phương trình bậc hai:
m2+2m−8=0m2+2m−8=0
(m+4)(m−2)=0(m+4)(m−2)=0
m=−4hoặcm=2m=−4hoặcm=2

Do đó, mm phải nằm trong khoảng:
−4≤m≤2−4≤m≤2

### Phần b: Tìm mm để hàm số g(x)g(x) đồng biến trên RR

Hàm số g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4.

1. **Tính đạo hàm của hàm số g(x)g(x):**
g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4
g(x)=x5−x3+(m−1)x2−x+4g(x)=x5−x3+(m−1)x2−x+4
g′(x)=ddx(x5−x3+(m−1)x2−x+4)g′(x)=ddx(x5−x3+(m−1)x2−x+4)
g′(x)=5x4−3x2+2(m−1)x−1g′(x)=5x4−3x2+2(m−1)x−1

2. **Để hàm số g(x)g(x) đồng biến trên RR, đạo hàm g′(x)g′(x) phải không đổi dấu trên toàn bộ miền RR. Để g′(x)≥0g′(x)≥0 hoặc g′(x)≤0g′(x)≤0 với mọi xx, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của phương trình bậc bốn 5x4−3x2+2(m−1)x−15x4−3x2+2(m−1)x−1.**

Đây là phương trình bậc bốn nên cần điều kiện phân tích phức tạp hơn. Một cách đơn giản hơn là thử nghiệm các giá trị cụ thể của mm và xem liệu có thể đạt được điều kiện đồng biến trên RR.

Cách giải thường là thử nghiệm một số giá trị của mm hoặc sử dụng các công cụ số học để tìm các giá trị cụ thể.

Tuy nhiên, thường thì việc đảm bảo một hàm số bậc bốn luôn đồng biến đòi hỏi đạo hàm bậc hai không có nghiệm thực, dẫn đến hệ thống điều kiện tương tự như phương trình bậc hai đã giải ở phần a.

Tóm lại:
- Để hàm số f(x)=x3+(m+1)x2+3x+2f(x)=x3+(m+1)x2+3x+2 đồng biến trên RR, cần −4≤m≤2−4≤m≤2.
- Để hàm số g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4g(x)=(x2−1)x3+(m−1)x2−x+4 đồng biến trên RR, cần thực hiện kiểm tra điều kiện cụ thể cho giá trị mm hoặc thử nghiệm bằng cách cụ thể hóa hàm số.
...Xem thêm