Để tìm độ dài cạnh của hình chóp tam giác đều \( S.ABC \), chúng ta cần hiểu một số yếu tố về hình học của hình chóp này.

### Các yếu tố cần thiết

- Hình chóp \( S.ABC \) với đáy là tam giác đều \( ABC \).
- Mỗi mặt bên \( SAB \), \( SBC \), và \( SCA \) đều là tam giác đều.
- \( SH \) là đường cao từ đỉnh \( S \) xuống mặt phẳng đáy \( ABC \), và \( H \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( HC = 3\sqrt{3} \) cm.

### Bước 1: Tìm độ dài cạnh của tam giác đều \( ABC \)

Gọi cạnh của tam giác đều \( ABC \) là \( a \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất của hình chóp

Trong một hình chóp tam giác đều, đường cao \( SH \) từ đỉnh \( S \) hạ xuống trung điểm \( O \) của cạnh \( BC \). Cạnh \( AC \) có thể được chia thành:
- \( AH = HC \)

Do đó, nếu \( O \) là trung điểm của \( BC \):
- \( OH = \frac{a\sqrt{3}}{6} \) (trong triangle \( ABC \), chiều cao từ điểm A xuống chân đường cao hạ từ O là \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \)).

Điều này cho thấy:
- \( AC = AO + OC = a \) và \( HC = 3\sqrt{3} \).

Ta có \( AH + HC = AC \)
\[
AH + 3\sqrt{3} = a
\]

### Bước 3: Xác định chiều cao \( SH \)

Để tìm chiều cao \( SH \):
- Chiều cao \( SH \) trong tam giác đều:
\[
SH = \sqrt{SA^2 - AH^2}
\]
Mà trong tam giác đều, \( SA = \text{cạnh của tam giác đều} = a \).

### Tính toán

Đặt \( AH = x \). Khi đó:
\[
x + 3\sqrt{3} = a \Rightarrow a = x + 3\sqrt{3}
\]
Ngày từ đầu, sử dụng \( A = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) cho mặt bên, ta có:
\[
SH
\]

Từ hình học chúng ta có:
\[
SH = \sqrt{SA^2 - HO^2}.
\]

Bây giờ tính trực tiếp:

1. **Chúng ta sẽ tính**:
\[
a = 9 (c) hoặc 6 (d) # Đây là 2 lựa chọn chính
\]
vì:
\[
3, 6, 9, 12
\]

Nếu thử:

1. **Với** \( a = 6 \):
\[
HC + AH = 6 \Rightarrow 3+\sqrt{3} = HC \Rightarrow Kết quả không hợp lý.
\]

2. **Với** \( a = 9 \):
\[
HC + AH = 9 \Rightarrow 3\sqrt{3} + AH = 9 \Rightarrow AH \text{ hợp lý}
\]

Dễ thấy là **với a=9 cm** đúng hơn so với các trên.

### Kết luận

**Độ dài cạnh của hình chóp là: \( 9 \text{ cm.} \)**.