Để tính diện tích 1/3 mảnh vườn hình chữ nhật, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính diện tích của mảnh vườn:**

- **Chiều dài của mảnh vườn**: \( 6 \frac{2}{9} \) mét
- **Chiều rộng của mảnh vườn**: \( 4 \frac{4}{5} \) mét

Chuyển các số hỗn hợp thành số thập phân:
- Chiều dài:
\[
6 \frac{2}{9} = 6 + \frac{2}{9} = \frac{54}{9} + \frac{2}{9} = \frac{56}{9} \text{ mét}
\]
- Chiều rộng:
\[
4 \frac{4}{5} = 4 + \frac{4}{5} = \frac{20}{5} + \frac{4}{5} = \frac{24}{5} \text{ mét}
\]

Diện tích của mảnh vườn là:
\[
A = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng}
\]
\[
A = \frac{56}{9} \times \frac{24}{5}
\]

Tính diện tích:
\[
A = \frac{56 \times 24}{9 \times 5} = \frac{1344}{45} \approx 29.7667 \text{ mét vuông}
\]

2. **Tính diện tích 1/3 mảnh vườn:**

\[
\text{Diện tích } \frac{1}{3} \text{ mảnh vườn} = \frac{1}{3} \times A
\]
\[
\text{Diện tích } \frac{1}{3} \text{ mảnh vườn} = \frac{1}{3} \times \frac{1344}{45}
\]
\[
\text{Diện tích } \frac{1}{3} \text{ mảnh vườn} = \frac{1344}{135} \approx 9.964 \text{ mét vuông}
\]

### Kết luận

Diện tích 1/3 mảnh vườn là \( \frac{1344}{135} \) mét vuông, hoặc khoảng 9.964 mét vuông.