Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đa thức \( A = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 3x + m + 5 \) chia hết cho đa thức \( B = x^2 - x + 2 \), ta cần đảm bảo rằng khi thực hiện phép chia \( A \) cho \( B \), số dư phải bằng 0.

**Bước 1: Chia đa thức \( A \) cho \( B \)**

Chúng ta sẽ sử dụng định lý phân tích để tính toán.

**1.1. Tìm nghiệm của đa thức \( B \)**

Đa thức \( B = x^2 - x + 2 \) có thể không có nghiệm thực (như sẽ thấy trong phép phân tích), vì vậy ta sử dụng định lý dư.

**1.2. Tính giá trị của đa thức \( A \) tại các nghiệm của \( B \)**

Ta tính giá trị của \( A \) tại các nghiệm của \( B \). Đầu tiên, tính nghiệm của \( B \) bằng cách giải phương trình \( x^2 - x + 2 = 0 \).

Nghiệm của phương trình bậc hai này được tính bằng:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 2 \):

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}
\]

\[
x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}
\]

Gọi hai nghiệm là \( \alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \) và \( \beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2} \).

**Bước 2: Tính giá trị của \( A \) tại các nghiệm**

Ta cần tính giá trị của \( A \) tại \( x = \alpha \) và \( x = \beta \) và đảm bảo rằng giá trị này bằng 0 cho cả hai nghiệm.

\[
A(\alpha) = \alpha^4 + 3\alpha^3 + 3\alpha^2 + 3\alpha + m + 5
\]

\[
A(\beta) = \beta^4 + 3\beta^3 + 3\beta^2 + 3\beta + m + 5
\]

Vì \( \alpha \) và \( \beta \) là nghiệm của \( B = x^2 - x + 2 = 0 \), ta có:

\[
\alpha^2 = \alpha - 2
\]

\[
\beta^2 = \beta - 2
\]

Ta cần tìm \( \alpha^4 \), \( \alpha^3 \), và tương tự cho \( \beta \):

**Tính \( \alpha^3 \) và \( \alpha^4 \)**

\[
\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(\alpha - 2) = \alpha^2 - 2\alpha = (\alpha - 2) - 2\alpha = -\alpha - 2
\]

\[
\alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha(-\alpha - 2) = -\alpha^2 - 2\alpha = -( \alpha - 2) - 2\alpha = -\alpha + 2 - 2\alpha = -3\alpha + 2
\]

Tương tự:

\[
\alpha^4 = -3\alpha + 2
\]

\[
\alpha^3 = -\alpha - 2
\]

**Tính giá trị \( A(\alpha) \)**

\[
A(\alpha) = (-3\alpha + 2) + 3(-\alpha - 2) + 3(\alpha - 2) + 3\alpha + m + 5
\]

\[
A(\alpha) = -3\alpha + 2 - 3\alpha - 6 + 3\alpha - 6 + 3\alpha + m + 5
\]

\[
A(\alpha) = -3\alpha + 2 - 6 + 5 + m
\]

\[
A(\alpha) = m - 1
\]

Để \( A(\alpha) = 0 \):

\[
m - 1 = 0 \implies m = 1
\]

**Kết luận:**

Giá trị của \( m \) để đa thức \( A \) chia hết cho đa thức \( B \) là \( \boxed{1} \).