Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), hai số \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số này là 1.

Dưới đây là chứng minh chi tiết:

### Chứng minh:

**Bước 1: Giả sử \( n+1 \) và \( 3n+4 \) có một ước số chung \( d \).**

Nếu \( d \) là một ước số chung của \( n+1 \) và \( 3n+4 \), thì \( d \) chia hết cho \( n+1 \) và \( 3n+4 \). Điều này có thể viết như sau:

\[
d \mid (n+1)
\]

\[
d \mid (3n+4)
\]

**Bước 2: Sử dụng các điều kiện trên để thiết lập một hệ thức.**

Từ \( d \mid (n+1) \), ta có:

\[
n \equiv -1 \pmod{d}
\]

Thay vào \( 3n + 4 \):

\[
3n + 4 \equiv 3(-1) + 4 \pmod{d}
\]

\[
3n + 4 \equiv -3 + 4 \pmod{d}
\]

\[
3n + 4 \equiv 1 \pmod{d}
\]

Do đó:

\[
d \mid (3n + 4 - 1)
\]

\[
d \mid (3n + 3)
\]

**Bước 3: Sử dụng điều kiện \( d \mid (n+1) \).**

Ta biết \( n + 1 \equiv 0 \pmod{d} \) (hay \( n \equiv -1 \pmod{d} \)). Thay vào biểu thức \( 3n + 3 \):

\[
3n + 3 \equiv 3(-1) + 3 \pmod{d}
\]

\[
3n + 3 \equiv -3 + 3 \pmod{d}
\]

\[
3n + 3 \equiv 0 \pmod{d}
\]

Do đó:

\[
d \mid (3n + 3)
\]

Như vậy, \( d \) là một ước số của \( 3 \).

**Bước 4: Xét các giá trị có thể của \( d \).**

Có hai giá trị có thể cho \( d \): \( d = 1 \) hoặc \( d = 3 \).

- Nếu \( d = 3 \), thì \( n+1 \) và \( 3n+4 \) phải chia hết cho 3.

Kiểm tra điều kiện này:

\[
n + 1 \equiv 0 \pmod{3}
\]

\[
n \equiv -1 \pmod{3}
\]

Thay vào:

\[
3n + 4 \equiv 3(-1) + 4 \pmod{3}
\]

\[
3n + 4 \equiv -3 + 4 \pmod{3}
\]

\[
3n + 4 \equiv 1 \pmod{3}
\]

Điều này cho thấy \( 3n + 4 \) không chia hết cho 3, do đó \( d \) không thể là 3.

Vì vậy, ước số chung lớn nhất chỉ có thể là 1.

### Kết luận:

Với mọi số tự nhiên \( n \), hai số \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN của chúng là 1.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), hai số \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số này là 1.

Dưới đây là chứng minh chi tiết:

### Chứng minh:

**Bước 1: Giả sử \( n+1 \) và \( 3n+4 \) có một ước số chung \( d \).**

Nếu \( d \) là một ước số chung của \( n+1 \) và \( 3n+4 \), thì \( d \) chia hết cho \( n+1 \) và \( 3n+4 \). Điều này có thể viết như sau:

\[
d \mid (n+1)
\]

\[
d \mid (3n+4)
\]

**Bước 2: Sử dụng các điều kiện trên để thiết lập một hệ thức.**

Từ \( d \mid (n+1) \), ta có:

\[
n \equiv -1 \pmod{d}
\]

Thay vào \( 3n + 4 \):

\[
3n + 4 \equiv 3(-1) + 4 \pmod{d}
\]

\[
3n + 4 \equiv -3 + 4 \pmod{d}
\]

\[
3n + 4 \equiv 1 \pmod{d}
\]

Do đó:

\[
d \mid (3n + 4 - 1)
\]

\[
d \mid (3n + 3)
\]

**Bước 3: Sử dụng điều kiện \( d \mid (n+1) \).**

Ta biết \( n + 1 \equiv 0 \pmod{d} \) (hay \( n \equiv -1 \pmod{d} \)). Thay vào biểu thức \( 3n + 3 \):

\[
3n + 3 \equiv 3(-1) + 3 \pmod{d}
\]

\[
3n + 3 \equiv -3 + 3 \pmod{d}
\]

\[
3n + 3 \equiv 0 \pmod{d}
\]

Do đó:

\[
d \mid (3n + 3)
\]

Như vậy, \( d \) là một ước số của \( 3 \).

**Bước 4: Xét các giá trị có thể của \( d \).**

Có hai giá trị có thể cho \( d \): \( d = 1 \) hoặc \( d = 3 \).

- Nếu \( d = 3 \), thì \( n+1 \) và \( 3n+4 \) phải chia hết cho 3.

Kiểm tra điều kiện này:

\[
n + 1 \equiv 0 \pmod{3}
\]

\[
n \equiv -1 \pmod{3}
\]

Thay vào:

\[
3n + 4 \equiv 3(-1) + 4 \pmod{3}
\]

\[
3n + 4 \equiv -3 + 4 \pmod{3}
\]

\[
3n + 4 \equiv 1 \pmod{3}
\]

Điều này cho thấy \( 3n + 4 \) không chia hết cho 3, do đó \( d \) không thể là 3.

Vì vậy, ước số chung lớn nhất chỉ có thể là 1.

### Kết luận:

Với mọi số tự nhiên \( n \), hai số \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN của chúng là 1.

Số thứ tự	Loại hàng	Số lượng (quyển)	Giá đơn vị (đồng)	Tổng số tiền (đồng)
1	Vở loại 1	35	2000	...
2	Vở loại 2	42	1500	...
3	Vở loại 3	38	1200	...
Cộng:				...

1 câu trả lời 212

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6