Chúng ta cần tìm \( P(x) \) thỏa mãn:

\[
\frac{2x^2 + 4x + 8}{x^3 - 3x^2 - x + 3} = \frac{x^3 - 8}{(x + 1)(x - 3)}
\]

Để giải phương trình này, ta có thể tiến hành như sau:

### Bước 1: Phân tích tử số và mẫu số
1. **Phân tích \( 2x^2 + 4x + 8 \):**
\[
2x^2 + 4x + 8 = 2(x^2 + 2x + 4)
\]

Để ý rằng \( x^2 + 2x + 4 \) không thể phân tích thành nhân tử đơn giản hơn trong trường hợp số nguyên.

2. **Phân tích \( x^3 - 8 \):**
\[
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
\]
Đây là một hiệu lập phương, phân tích theo công thức:
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]
với \( a = x \) và \( b = 2 \).

### Bước 2: Xét biểu thức bên trái và phải
Giả sử:

\[
P(x) = \frac{2x^2 + 4x + 8}{x^3 - 3x^2 - x + 3}
\]

Và ta cần chứng minh:

\[
P(x) = \frac{x^3 - 8}{(x + 1)(x - 3)}
\]

Từ đó, ta có thể so sánh và nhận diện các nhân tử chung trong cả hai vế. Việc tìm \( P(x) \) sẽ được tiến hành bằng cách chia đa thức hoặc tìm nghiệm của các đa thức trên.

### Bước 3: Kiểm tra nghiệm và kết luận

Ta thực hiện các bước tính toán tiếp theo để kiểm tra và rút ra kết luận.