Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 1995 \), trước tiên chúng ta cần phân tích \( 1995 \) ra các thừa số nguyên tố:

\[
1995 = 3 \times 5 \times 7 \times 19
\]

Vậy để \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 1995 \), nó phải chia hết cho tất cả các thừa số nguyên tố của \( 1995 \), tức là \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), và \( 19 \). Ta sẽ tìm điều kiện chia hết cho từng số nguyên tố và sau đó kết hợp các điều kiện này.

### 1. Tính \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 3 \)

Xét \( n^2 + n + 1 \) modulo \( 3 \):

\[
\begin{aligned}
&\text{Nếu } n \equiv 0 \mod 3: & n^2 + n + 1 \equiv 0^2 + 0 + 1 \equiv 1 \mod 3 \\
&\text{Nếu } n \equiv 1 \mod 3: & n^2 + n + 1 \equiv 1^2 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3 \\
&\text{Nếu } n \equiv 2 \mod 3: & n^2 + n + 1 \equiv 2^2 + 2 + 1 \equiv 7 \equiv 1 \mod 3 \\
\end{aligned}
\]

Vậy \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 3 \) khi \( n \equiv 1 \mod 3 \).

### 2. Tính \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 5 \)

Xét \( n^2 + n + 1 \) modulo \( 5 \):

\[
\begin{aligned}
&\text{Nếu } n \equiv 0 \mod 5: & n^2 + n + 1 \equiv 0^2 + 0 + 1 \equiv 1 \mod 5 \\
&\text{Nếu } n \equiv 1 \mod 5: & n^2 + n + 1 \equiv 1^2 + 1 + 1 \equiv 3 \mod 5 \\
&\text{Nếu } n \equiv 2 \mod 5: & n^2 + n + 1 \equiv 2^2 + 2 + 1 \equiv 7 \equiv 2 \mod 5 \\
&\text{Nếu } n \equiv 3 \mod 5: & n^2 + n + 1 \equiv 3^2 + 3 + 1 \equiv 13 \equiv 3 \mod 5 \\
&\text{Nếu } n \equiv 4 \mod 5: & n^2 + n + 1 \equiv 4^2 + 4 + 1 \equiv 21 \equiv 1 \mod 5 \\
\end{aligned}
\]

Vậy \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 5 \) khi \( n \equiv 3 \mod 5 \).

### 3. Tính \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 7 \)

Xét \( n^2 + n + 1 \) modulo \( 7 \):

\[
\begin{aligned}
&\text{Nếu } n \equiv 0 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 0^2 + 0 + 1 \equiv 1 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 1 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 1^2 + 1 + 1 \equiv 3 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 2 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 2^2 + 2 + 1 \equiv 7 \equiv 0 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 3 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 3^2 + 3 + 1 \equiv 13 \equiv 6 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 4 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 4^2 + 4 + 1 \equiv 21 \equiv 0 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 5 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 5^2 + 5 + 1 \equiv 31 \equiv 3 \mod 7 \\
&\text{Nếu } n \equiv 6 \mod 7: & n^2 + n + 1 \equiv 6^2 + 6 + 1 \equiv 43 \equiv 1 \mod 7 \\
\end{aligned}
\]

Vậy \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 7 \) khi \( n \equiv 2 \text{ or } 4 \mod 7 \).

### 4. Tính \( n^2 + n + 1 \) chia hết cho \( 19 \)

Để tìm số tự nhiên nn sao cho n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 19951995, trước tiên chúng ta cần phân tích 19951995 ra các thừa số nguyên tố:

1995=3×5×7×191995=3×5×7×19

Vậy để n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 19951995, nó phải chia hết cho tất cả các thừa số nguyên tố của 19951995, tức là 33, 55, 77, và 1919. Ta sẽ tìm điều kiện chia hết cho từng số nguyên tố và sau đó kết hợp các điều kiện này.

### 1. Tính n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 33

Xét n2+n+1n2+n+1 modulo 33:

Nếu n≡0mod3:n2+n+1≡02+0+1≡1mod3Nếu n≡1mod3:n2+n+1≡12+1+1≡3≡0mod3Nếu n≡2mod3:n2+n+1≡22+2+1≡7≡1mod3Nếu n≡0mod3:n2+n+1≡02+0+1≡1mod3Nếu n≡1mod3:n2+n+1≡12+1+1≡3≡0mod3Nếu n≡2mod3:n2+n+1≡22+2+1≡7≡1mod3

Vậy n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 33 khi n≡1mod3n≡1mod3.

### 2. Tính n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 55

Xét n2+n+1n2+n+1 modulo 55:

Nếu n≡0mod5:n2+n+1≡02+0+1≡1mod5Nếu n≡1mod5:n2+n+1≡12+1+1≡3mod5Nếu n≡2mod5:n2+n+1≡22+2+1≡7≡2mod5Nếu n≡3mod5:n2+n+1≡32+3+1≡13≡3mod5Nếu n≡4mod5:n2+n+1≡42+4+1≡21≡1mod5Nếu n≡0mod5:n2+n+1≡02+0+1≡1mod5Nếu n≡1mod5:n2+n+1≡12+1+1≡3mod5Nếu n≡2mod5:n2+n+1≡22+2+1≡7≡2mod5Nếu n≡3mod5:n2+n+1≡32+3+1≡13≡3mod5Nếu n≡4mod5:n2+n+1≡42+4+1≡21≡1mod5

Vậy n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 55 khi n≡3mod5n≡3mod5.

### 3. Tính n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 77

Xét n2+n+1n2+n+1 modulo 77:

Nếu n≡0mod7:n2+n+1≡02+0+1≡1mod7Nếu n≡1mod7:n2+n+1≡12+1+1≡3mod7Nếu n≡2mod7:n2+n+1≡22+2+1≡7≡0mod7Nếu n≡3mod7:n2+n+1≡32+3+1≡13≡6mod7Nếu n≡4mod7:n2+n+1≡42+4+1≡21≡0mod7Nếu n≡5mod7:n2+n+1≡52+5+1≡31≡3mod7Nếu n≡6mod7:n2+n+1≡62+6+1≡43≡1mod7Nếu n≡0mod7:n2+n+1≡02+0+1≡1mod7Nếu n≡1mod7:n2+n+1≡12+1+1≡3mod7Nếu n≡2mod7:n2+n+1≡22+2+1≡7≡0mod7Nếu n≡3mod7:n2+n+1≡32+3+1≡13≡6mod7Nếu n≡4mod7:n2+n+1≡42+4+1≡21≡0mod7Nếu n≡5mod7:n2+n+1≡52+5+1≡31≡3mod7Nếu n≡6mod7:n2+n+1≡62+6+1≡43≡1mod7

Vậy n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 77 khi n≡2 or 4mod7n≡2 or 4mod7.

### 4. Tính n2+n+1n2+n+1 chia hết cho 19