Để tìm chữ số tận cùng của \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2017} \), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Tính tổng \( A \)

Dãy số \( 1, 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2017} \) là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và tỷ lệ chung \( r = 2 \). Số lượng số hạng là \( n = 2018 \). Tổng của một cấp số nhân được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( r = 2 \), và \( n = 2018 \). Thay vào công thức, chúng ta có:

\[
A = \frac{2^{2018} - 1}{2 - 1} = 2^{2018} - 1
\]

### Tìm chữ số tận cùng của \( A \)

Để tìm chữ số tận cùng của \( A \), tức là tìm \( A \mod 10 \), chúng ta cần tìm \( 2^{2018} - 1 \mod 10 \).

#### Tính \( 2^{2018} \mod 10 \)

Hãy xem chu kỳ của \( 2^n \mod 10 \):

\[
\begin{align*}
2^1 &\equiv 2 \mod 10 \\
2^2 &\equiv 4 \mod 10 \\
2^3 &\equiv 8 \mod 10 \\
2^4 &\equiv 6 \mod 10 \\
2^5 &\equiv 2 \mod 10 \\
\end{align*}
\]

Chúng ta nhận thấy rằng \( 2^n \mod 10 \) lặp lại với chu kỳ 4: \( 2, 4, 8, 6 \).

Để tìm \( 2^{2018} \mod 10 \), chúng ta xác định chỉ số của \( 2018 \) trong chu kỳ 4. Ta tính:

\[
2018 \mod 4 = 2
\]

Do đó:

\[
2^{2018} \equiv 2^2 \mod 10
\]

Vì:

\[
2^2 = 4
\]

Vậy:

\[
2^{2018} \equiv 4 \mod 10
\]

#### Tính \( 2^{2018} - 1 \mod 10 \)

Vì:

\[
2^{2018} \equiv 4 \mod 10
\]

Do đó:

\[
2^{2018} - 1 \equiv 4 - 1 \mod 10 = 3
\]

### Kết luận

Chữ số tận cùng của \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2017} \) là \( 3 \).

Để tìm chữ số tận cùng của A=1+2+22+23+⋯+22017A=1+2+22+23+⋯+22017, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Tính tổng AA

Dãy số 1,2,22,23,…,220171,2,22,23,…,22017 là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên a=1a=1 và tỷ lệ chung r=2r=2. Số lượng số hạng là n=2018n=2018. Tổng của một cấp số nhân được tính bằng công thức:

Sn=arn−1r−1Sn=arn−1r−1

Trong trường hợp này, a=1a=1, r=2r=2, và n=2018n=2018. Thay vào công thức, chúng ta có:

A=22018−12−1=22018−1A=22018−12−1=22018−1

### Tìm chữ số tận cùng của AA

Để tìm chữ số tận cùng của AA, tức là tìm Amod10Amod10, chúng ta cần tìm 22018−1mod1022018−1mod10.

#### Tính 22018mod1022018mod10

Hãy xem chu kỳ của 2nmod102nmod10:

21≡2mod1022≡4mod1023≡8mod1024≡6mod1025≡2mod1021≡2mod1022≡4mod1023≡8mod1024≡6mod1025≡2mod10

Chúng ta nhận thấy rằng 2nmod102nmod10 lặp lại với chu kỳ 4: 2,4,8,62,4,8,6.

Để tìm 22018mod1022018mod10, chúng ta xác định chỉ số của 20182018 trong chu kỳ 4. Ta tính:

2018mod4=22018mod4=2

Do đó:

22018≡22mod1022018≡22mod10

Vì:

22=422=4

Vậy:

22018≡4mod1022018≡4mod10

#### Tính 22018−1mod1022018−1mod10

Vì:

22018≡4mod1022018≡4mod10

Do đó:

22018−1≡4−1mod10=322018−1≡4−1mod10=3

### Kết luận

Chữ số tận cùng của A=1+2+22+23+⋯+22017A=1+2+22+23+⋯+22017 là 33.