Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách ký hiệu các cạnh của khối lập phương ban đầu là \(a\). Khi cắt khối lập phương bằng hai mặt phẳng song song với đáy, ta thu được ba khối hình hộp chữ nhật. Gọi chiều cao của ba khối đó lần lượt là \(h_1\), \(h_2\), và \(h_3\).

Từ đó, chiều cao của toàn bộ khối lập phương là:
\[
h_1 + h_2 + h_3 = a
\]

### Bước 1: Diện tích bề mặt của mỗi khối

Diện tích bề mặt của mỗi khối hình hộp chữ nhật có thể tính bằng công thức:
\[
S = 2(ab + ac + bc)
\]
Với \(a\) là cạnh đáy của khối lập phương và \(h_i\) là chiều cao của khối hình hộp chữ nhật. Vì cạnh đáy của tất cả các khối đều là \(a\), ta có:

- Diện tích bề mặt của khối thứ nhất:
\[
S_1 = 2(a \cdot a + a \cdot h_1 + a \cdot h_1) = 2(a^2 + 2ah_1) = 2a(a + 2h_1)
\]
- Diện tích bề mặt của khối thứ hai:
\[
S_2 = 2a(a + 2h_2)
\]
- Diện tích bề mặt của khối thứ ba:
\[
S_3 = 2a(a + 2h_3)
\]

Theo bài toán, ta có tỉ số diện tích bề mặt của ba khối này là \(3 : 4 : 5\), tức là:
\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{4} \quad \text{và} \quad \frac{S_2}{S_3} = \frac{4}{5}
\]

Điều này dẫn đến:
\[
\frac{a + 2h_1}{a + 2h_2} = \frac{3}{4} \quad \text{và} \quad \frac{a + 2h_2}{a + 2h_3} = \frac{4}{5}
\]

### Bước 2: Tính tỉ số thể tích

Thể tích của mỗi khối hình hộp chữ nhật là:
\[
V_i = a^2 \times h_i
\]

Do đó, tỉ số thể tích của ba khối là:
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1}{h_2} \quad \text{và} \quad \frac{V_2}{V_3} = \frac{h_2}{h_3}
\]

Từ các tỉ số diện tích đã cho, ta có thể tìm \(h_1\), \(h_2\), và \(h_3\) bằng cách giải hệ phương trình sau:

\[
\frac{a + 2h_1}{a + 2h_2} = \frac{3}{4} \quad \text{và} \quad \frac{a + 2h_2}{a + 2h_3} = \frac{4}{5}
\]

Giải hệ phương trình này, ta tìm được tỉ số \(h_1 : h_2 : h_3\). Sau đó, tính tỉ số thể tích:

- Nếu \(h_1 = 3x\), \(h_2 = 4x\), và \(h_3 = 5x\), thì:
\[
\frac{V_1}{V_2}{V_3} = \frac{3x}{4x} : \frac{4x}{5x} : \frac{5x}{x} = 3 : 4 : 5
\]

### Kết luận

Tỉ số thể tích của ba khối hình hộp chữ nhật là \(3 : 4 : 5\).