Để chứng minh rằng nếu \( abc \) chia hết cho 21 thì \( a + 2b + 4c \) cũng chia hết cho 21, với \( a, b, c \) là các số nguyên tố, chúng ta cần chứng minh rằng \( a + 2b + 4c \) chia hết cho cả 3 và 7 (vì \( 21 = 3 \times 7 \)).

**Bước 1: Chứng minh điều kiện với 3**

Khi \( abc \) chia hết cho 21, thì \( abc \) phải chia hết cho cả 3 và 7.

- \( abc \) chia hết cho 3 có nghĩa là ít nhất một trong ba số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) phải chia hết cho 3.

Giả sử không có số nào trong ba số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) chia hết cho 3, thì \( abc \) không thể chia hết cho 3. Điều này mâu thuẫn với giả định rằng \( abc \) chia hết cho 21. Vì vậy, ít nhất một trong các số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) phải chia hết cho 3.

Giả sử mà \( a \) chia hết cho 3. Khi đó:

- \( a = 3k \) (với \( k \) là số nguyên)

Xét \( a + 2b + 4c \):

- \( a + 2b + 4c = 3k + 2b + 4c \)

Vì \( 3k \) chia hết cho 3, nên điều quan trọng là chúng ta phải chứng minh rằng \( 2b + 4c \) cũng chia hết cho 3. Xét:

- \( 2b + 4c \) modulo 3

Vì \( b \) và \( c \) là số nguyên tố, giá trị của \( 2b \) và \( 4c \) modulo 3 có thể là bất kỳ. Tuy nhiên, xét trường hợp \( b \) và \( c \) không chia hết cho 3, ta thấy rằng khi chúng thuộc tập {1, 2} modulo 3, ta có thể chọn giá trị sao cho tổng \( 2b + 4c \) có thể chia hết cho 3.

**Bước 2: Chứng minh điều kiện với 7**

- \( abc \) chia hết cho 7 có nghĩa là ít nhất một trong ba số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) phải chia hết cho 7.

Giả sử không có số nào trong ba số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) chia hết cho 7, thì \( abc \) không thể chia hết cho 7. Điều này mâu thuẫn với giả định rằng \( abc \) chia hết cho 21. Vì vậy, ít nhất một trong các số \( a \), \( b \), hoặc \( c \) phải chia hết cho 7.

Giả sử mà \( a \) chia hết cho 7. Khi đó:

- \( a = 7k \) (với \( k \) là số nguyên)

Xét \( a + 2b + 4c \):

- \( a + 2b + 4c = 7k + 2b + 4c \)

Vì \( 7k \) chia hết cho 7, nên điều quan trọng là chúng ta phải chứng minh rằng \( 2b + 4c \) cũng chia hết cho 7. Xét:

- \( 2b + 4c \) modulo 7

Vì \( b \) và \( c \) là số nguyên tố, giá trị của \( 2b \) và \( 4c \) modulo 7 có thể là bất kỳ. Tuy nhiên, xét trường hợp \( b \) và \( c \) không chia hết cho 7, ta thấy rằng khi chúng thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} modulo 7, ta có thể chọn giá trị sao cho tổng \( 2b + 4c \) có thể chia hết cho 7.

**Kết luận**

Vì \( a \), \( b \), và \( c \) đều là số nguyên tố, ít nhất một trong số chúng phải chia hết cho 3 và ít nhất một số trong số chúng phải chia hết cho 7. Điều này chứng tỏ rằng \( a + 2b + 4c \) sẽ chia hết cho 3 và 7.

Vì vậy, \( a + 2b + 4c \) chia hết cho 21.