Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước:

### 1. Phương trình phản ứng:
Khi \( \text{Al}_2\text{O}_3 \) tác dụng với \( \text{HCl} \), phản ứng xảy ra như sau:

\[
\text{Al}_2\text{O}_3 + 6\text{HCl} \rightarrow 2\text{AlCl}_3 + 3\text{H}_2\text{O}
\]

Sản phẩm \( \text{AlCl}_3 \) khi tác dụng với \( \text{NaOH} \) sẽ có phản ứng:

\[
\text{AlCl}_3 + 3\text{NaOH} \rightarrow \text{Al(OH)}_3 \downarrow + 3\text{NaCl}
\]

Nhưng nếu dư \( \text{NaOH} \), \( \text{Al(OH)}_3 \) sẽ tan trong kiềm mạnh và tạo phức:

\[
\text{Al(OH)}_3 + \text{NaOH} \rightarrow \text{NaAlO}_2 + 2\text{H}_2\text{O}
\]

### 2. Số mol các chất ban đầu:

- Số mol của \( \text{Al}_2\text{O}_3 \):
\[
\text{mol Al}_2\text{O}_3 = \frac{16.2 \, \text{g}}{102 \, \text{g/mol}} = 0.159 \, \text{mol}
\]

- Số mol của \( \text{HCl} \):
\[
\text{mol HCl} = 0.6 \, \text{lít} \times 2 \, \text{mol/l} = 1.2 \, \text{mol}
\]

### 3. Tính lượng \( \text{AlCl}_3 \) sinh ra:
- Theo phương trình phản ứng:
\[
\text{mol Al}_2\text{O}_3 : \text{mol HCl} = 1 : 6
\]

Vì 0.159 mol \( \text{Al}_2\text{O}_3 \) cần 0.954 mol \( \text{HCl} \) để phản ứng hết (0.159 mol \( \text{Al}_2\text{O}_3 \) không dư).

- Số mol \( \text{AlCl}_3 \) tạo ra là:
\[
\text{mol AlCl}_3 = 2 \times 0.159 \, \text{mol} = 0.318 \, \text{mol}
\]

### 4. Tính lượng \( \text{NaOH} \) cần thiết:

#### a. Để thu được lượng kết tủa \( \text{Al(OH)}_3 \) lớn nhất:
Để thu được kết tủa \( \text{Al(OH)}_3 \) lớn nhất, chỉ cần vừa đủ \( \text{NaOH} \) để kết tủa \( \text{Al(OH)}_3 \) mà không tan nữa:

\[
\text{mol NaOH} = 3 \times 0.318 \, \text{mol} = 0.954 \, \text{mol}
\]

- Thể tích dung dịch \( \text{NaOH} \) 0.5M cần dùng:

\[
\text{V} = \frac{\text{mol NaOH}}{\text{nồng độ}} = \frac{0.954 \, \text{mol}}{0.5 \, \text{M}} = 1.908 \, \text{lít}
\]

#### b. Để thu được 7.8g kết tủa \( \text{Al(OH)}_3 \):

- Khối lượng mol của \( \text{Al(OH)}_3 \) là \( 78 \, \text{g/mol} \).
- Số mol kết tủa cần thiết:

\[
\text{mol Al(OH)}_3 = \frac{7.8 \, \text{g}}{78 \, \text{g/mol}} = 0.1 \, \text{mol}
\]

- Số mol \( \text{NaOH} \) cần dùng:

\[
\text{mol NaOH} = 3 \times 0.1 \, \text{mol} = 0.3 \, \text{mol}
\]

- Thể tích dung dịch \( \text{NaOH} \) 0.5M cần dùng:

\[
\text{V} = \frac{0.3 \, \text{mol}}{0.5 \, \text{M}} = 0.6 \, \text{lít}
\]

### Kết luận:
a. Để thu được lượng kết tủa lớn nhất, cần dùng 1.908 lít dung dịch \( \text{NaOH} \) 0.5M.

b. Để thu được 7.8g kết tủa, cần dùng 0.6 lít dung dịch \( \text{NaOH} \) 0.5M.