Để tìm ba chữ số tận cùng của \( A = 3 \times 7 \times 11 \times 15 \times \cdots \times 2019 \times 2023 \), ta cần tìm \( A \mod 1000 \). Để làm điều này, trước tiên ta sẽ sử dụng phương pháp chia phần:

**1. Phân tích \( 1000 \) thành tích các số nguyên tố:**

\[
1000 = 2^3 \times 5^3
\]

Vậy chúng ta cần tính \( A \mod 8 \) và \( A \mod 125 \), sau đó áp dụng định lý số dư Trung Hoa (Chinese Remainder Theorem) để kết hợp các kết quả.

### Tính \( A \mod 8 \):

Các số trong dãy là các số lẻ với dạng tổng quát là \( 4k + 3 \) (vì dãy bắt đầu từ 3, 7, 11, ...). Mỗi số trong dãy khi chia cho 8 có các giá trị còn lại là 3, 7, 3, 7, ...

Chúng ta sẽ tính số lượng số trong dãy:

- Số đầu tiên là 3 và số cuối là 2023.
- Các số trong dãy có dạng \( 4k + 3 \), vì vậy dãy số này có công bội là 4 và bước nhảy là 4.

Tính số lượng số trong dãy:

\[
n = \frac{2023 - 3}{4} + 1 = \frac{2020}{4} + 1 = 505 + 1 = 506
\]

Do đó, dãy có 506 số.

- Mỗi 2 số liên tiếp trong dãy có giá trị tận cùng là 3, 7.

Ta thấy số tận cùng của \( A \) trên mô-đun 8 chỉ dựa vào số lượng số:

\[
3 \times 7 = 21 \quad (\text{mod } 8 = 5)
\]

Vì có 253 cặp như vậy:

\[
5^{253} \mod 8 = 5
\]

Do đó:

\[
A \mod 8 = 5
\]

### Tính \( A \mod 125 \):

Số lượng các số trong dãy là \( 506 \), trong đó các số không chia hết cho 5 (không có số nào chia hết cho 5 trong dãy). Tuy nhiên, số lượng số chia hết cho \( 5^2 \) là lớn, nên \( A \) chia hết cho \( 125 \). Vậy:

\[
A \mod 125 = 0
\]

### Áp dụng Định lý số dư Trung Hoa:

Từ các kết quả trên:

\[
A \equiv 5 \pmod{8}
\]
\[
A \equiv 0 \pmod{125}
\]

Chúng ta cần tìm một số \( x \) sao cho:

\[
x \equiv 0 \pmod{125}
\]
\[
x \equiv 5 \pmod{8}
\]

Giả sử \( x = 125k \). Thay vào điều kiện thứ hai:

\[
125k \equiv 5 \pmod{8}
\]

Vì \( 125 \equiv 5 \pmod{8} \), ta có:

\[
5k \equiv 5 \pmod{8}
\]
\[
k \equiv 1 \pmod{8}
\]

Do đó, \( k = 8m + 1 \). Thay vào:

\[
x = 125(8m + 1) = 1000m + 125
\]

Vậy:

\[
x \equiv 125 \pmod{1000}
\]

**Kết luận:**

Ba chữ số tận cùng của \( A \) là **125**.