Để giải quyết bài toán này, ta sẽ theo từng bước một.

### Bước 1: Tính diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB

1. **Đường tròn đã cho** có bán kính \( R = 11 \) cm.
2. **Dây AB** có chiều dài \( AB = 18 \) cm.

Một dây AB trong đường tròn tạo ra một hình quạt và một hình chữ nhật trên nó. Để tìm được diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB, ta phải tìm được góc ở tâm ứng với dây AB này.

Giả sử \( OA \) và \( OB \) là các đoạn thẳng từ tâm \( O \) đến các điểm \( A \) và \( B \). Tam giác \( OAB \) là tam giác đều với các cạnh bằng bán kính \( R \).

Áp dụng định lý cosin vào tam giác \( OAB \):

\[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)
\]

Trong đó \( \theta \) là góc ở tâm \( O \), và \( OA = OB = R \):

\[
18^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(\theta)
\]

Thay \( R = 11 \) cm vào:

\[
324 = 11^2 + 11^2 - 2 \cdot 11^2 \cdot \cos(\theta)
\]

\[
324 = 121 + 121 - 242 \cos(\theta)
\]

\[
324 = 242 - 242 \cos(\theta)
\]

\[
242 \cos(\theta) = 242 - 324 \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{-82}{242} \Rightarrow \cos(\theta) = -\frac{41}{121}
\]

Biết được giá trị của \( \cos(\theta) \), ta tính diện tích của hình quạt:

\[
\text{Diện tích hình quạt} = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]

Để tìm \( \theta \), ta dùng công thức:

\[
\theta = \arccos\left(-\frac{41}{121}\right)
\]

Tính diện tích tam giác:

\[
S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} R^2 \sin(\theta)
\]

Vì \( R = 11 \) cm, nên:

\[
S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 11 \cdot \sin(\theta) = \frac{121}{2} \sin(\theta)
\]

Diện tích phần hình bán nguyệt:

\[
S_{bán nguyệt} = S_{quạt} - S_{OAB} = \frac{121}{2} \left(\frac{\sin(\theta) + \theta}{360^\circ} \cdot 2\pi\right) - S_{OAB}
\]

### Bước 2: Tính \( IA \) và \( IB \)

1. Tính độ dài các đoạn thẳng từ điểm trong \( I \) đến \( A \) và \( B \): \( IA \) và \( IB \).
2. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( OIA \):

\[
OA^2 = OI^2 + IA^2
\]

Thay vào:

\[
11^2 = 7^2 + IA^2 \Rightarrow IA^2 = 121 - 49 = 72 \Rightarrow IA = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Tương tự cho đoạn \( IB \):

\[
OB^2 = OI^2 + IB^2
\]

\[
11^2 = 7^2 + IB^2 \Rightarrow IB^2 = 121 - 49 = 72 \Rightarrow IB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}
\]

### Kết luận

1. Diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB là dựa vào phần tính toán diện tích mà ta đã thực hiện.
2. \( IA = 6\sqrt{2} \) cm và \( IB = \sqrt{121 - 49} = 6\sqrt{2} \) cm. Chú ý rằng \( IA < IB \).

Phần 1: Tính diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB
Giả thiết:

Đường tròn có bán kính ( R = 11 ) cm.
Dây cung AB có độ dài ( AB = 18 ) cm.
Tính toán:

Đầu tiên, ta tính khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB. Gọi khoảng cách này là ( d ).
Sử dụng công thức: ( d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} ) [ d = \sqrt{11^2 - \left(\frac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ cm} ]
Diện tích hình bán nguyệt giới hạn bởi dây cung AB và cung nhỏ AB là diện tích của hình quạt tròn trừ đi diện tích tam giác tạo bởi tâm O và hai điểm mút của dây cung AB.
Góc ở tâm ( \theta ) tạo bởi hai bán kính OA và OB có thể tính bằng công thức: [ \cos(\theta/2) = \frac{d}{R} = \frac{2\sqrt{10}}{11} ] [ \theta = 2 \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{10}}{11}\right) ]
Diện tích hình quạt tròn: [ S_{\text{quạt}} = \frac{1}{2} R^2 \theta ]
Diện tích tam giác OAB: [ S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 18 \times 2\sqrt{10} = 18\sqrt{10} \text{ cm}^2 ]
Diện tích hình bán nguyệt: [ S_{\text{bán nguyệt}} = S_{\text{quạt}} - S_{\text{tam giác}} ]
Phần 2: Tính IA và IB biết IA < IB
Giả thiết:

OI = 7 cm.
Dây cung AB có độ dài 18 cm.
Tính toán:

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OIA và OIB: [ IA = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{11^2 - 9^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ cm} ]
Vì IA < IB, ta có: [ IB = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{11^2 - 9^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ cm} ]