Để chứng minh biểu thức \(3^n + 2 \cdot 3^n\) chia hết cho 10 với \(n \in \mathbb{N}\), ta có thể phân tích biểu thức này như sau:

### Bước 1: Biểu thức cần chứng minh
Biểu thức cần chứng minh là \(3^n + 2 \cdot 3^n\) chia hết cho 10, với \(n \in \mathbb{N}\).

Ta có thể viết lại biểu thức trên thành:

\[
3^n + 2 \cdot 3^n = 3^n \cdot (1 + 2) = 3^n \cdot 3 = 3^{n+1}
\]

Như vậy, biểu thức cần chứng minh trở thành:

\[
3^{n+1} \text{ chia hết cho 10 với } n \in \mathbb{N}
\]

### Bước 2: Xét tính chia hết của \(3^{n+1}\) cho 10
Ta cần xét tính chia hết của \(3^{n+1}\) cho 10. Chúng ta sẽ kiểm tra chu kỳ của số dư của \(3^{n+1}\) khi chia cho 10.

#### Xét các giá trị nhỏ của \(n+1\):
- \(3^1 = 3 \) → dư 3 khi chia cho 10.
- \(3^2 = 9 \) → dư 9 khi chia cho 10.
- \(3^3 = 27 \) → dư 7 khi chia cho 10.
- \(3^4 = 81 \) → dư 1 khi chia cho 10.

Chu kỳ của các số dư này là 4. Do đó:

- Nếu \(n+1 \equiv 1 \pmod{4}\) thì \(3^{n+1}\) dư 3 khi chia cho 10.
- Nếu \(n+1 \equiv 2 \pmod{4}\) thì \(3^{n+1}\) dư 9 khi chia cho 10.
- Nếu \(n+1 \equiv 3 \pmod{4}\) thì \(3^{n+1}\) dư 7 khi chia cho 10.
- Nếu \(n+1 \equiv 0 \pmod{4}\) thì \(3^{n+1}\) dư 1 khi chia cho 10.

### Kết luận
Khi xét tính chia hết của \(3^{n+1}\) cho 10, ta thấy \(3^{n+1}\) không chia hết cho 10 với bất kỳ giá trị \(n \in \mathbb{N}\) nào. Điều này chứng tỏ rằng:

\[
3^n + 2 \cdot 3^n = 3^{n+1}
\]

**Không chia hết cho 10** với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

Để chứng minh rằng \(3^n + 2 \cdot 3^n\) chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}\), trước tiên, ta có thể đơn giản hóa biểu thức này:

\[
3^n + 2 \cdot 3^n = 3^n (1 + 2) = 3^n \cdot 3 = 3^{n+1}.
\]

Bây giờ, ta cần xem xét tính chất chia hết của \(3^{n+1}\) cho 10.

Một cách tiện lợi là xem xét chu kỳ của \(3^n\) modulo 10:

- \(3^1 \equiv 3 \mod 10\)
- \(3^2 \equiv 9 \mod 10\)
- \(3^3 \equiv 27 \equiv 7 \mod 10\)
- \(3^4 \equiv 81 \equiv 1 \mod 10\)

Sau \(3^4\), chu kỳ này lặp lại (bắt đầu lại từ \(3^1\)). Như vậy, chu kỳ của \(3^n \mod 10\) là 4.

Bây giờ, ta xem \(n \mod 4\):

- Nếu \(n \equiv 0 \mod 4\): \(3^{n+1} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 10\)
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 4\): \(3^{n+1} \equiv 3^2 \equiv 9 \mod 10\)
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 4\): \(3^{n+1} \equiv 3^3 \equiv 7 \mod 10\)
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 4\): \(3^{n+1} \equiv 3^4 \equiv 1 \mod 10\)

Từ các tính toán trên, ta thấy rằng \(3^{n+1} \mod 10\) không bao giờ bằng 0.

Do đó, \(3^n + 2 \cdot 3^n = 3^{n+1}\) không chia hết cho 10.

Như vậy, kết luận là \(3^n + 2 \cdot 3^n\) không chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).