Để chứng minh biểu thức $3^n + 2 \cdot 3^n$ chia hết cho 10 với $n \in \mathbb{N}$, ta có thể phân tích biểu thức này như sau:

### Bước 1: Biểu thức cần chứng minh
Biểu thức cần chứng minh là $3^n + 2 \cdot 3^n$ chia hết cho 10, với $n \in \mathbb{N}$.

Ta có thể viết lại biểu thức trên thành:

$3^n + 2 \cdot 3^n = 3^n \cdot (1 + 2) = 3^n \cdot 3 = 3^{n+1}$

Như vậy, biểu thức cần chứng minh trở thành:

$3^{n+1} \text{ chia hết cho 10 với } n \in \mathbb{N}$

### Bước 2: Xét tính chia hết của $3^{n+1}$ cho 10
Ta cần xét tính chia hết của $3^{n+1}$ cho 10. Chúng ta sẽ kiểm tra chu kỳ của số dư của $3^{n+1}$ khi chia cho 10.

#### Xét các giá trị nhỏ của $n+1$:
- $3^1 = 3$ → dư 3 khi chia cho 10.
- $3^2 = 9$ → dư 9 khi chia cho 10.
- $3^3 = 27$ → dư 7 khi chia cho 10.
- $3^4 = 81$ → dư 1 khi chia cho 10.

Chu kỳ của các số dư này là 4. Do đó:

- Nếu $n+1 \equiv 1 \pmod{4}$ thì $3^{n+1}$ dư 3 khi chia cho 10.
- Nếu $n+1 \equiv 2 \pmod{4}$ thì $3^{n+1}$ dư 9 khi chia cho 10.
- Nếu $n+1 \equiv 3 \pmod{4}$ thì $3^{n+1}$ dư 7 khi chia cho 10.
- Nếu $n+1 \equiv 0 \pmod{4}$ thì $3^{n+1}$ dư 1 khi chia cho 10.

### Kết luận
Khi xét tính chia hết của $3^{n+1}$ cho 10, ta thấy $3^{n+1}$ không chia hết cho 10 với bất kỳ giá trị $n \in \mathbb{N}$ nào. Điều này chứng tỏ rằng:

$3^n + 2 \cdot 3^n = 3^{n+1}$

**Không chia hết cho 10** với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Để chứng minh rằng $3^n + 2 \cdot 3^n$ chia hết cho 10 với mọi $n \in \mathbb{N}$, trước tiên, ta có thể đơn giản hóa biểu thức này:

$3^n + 2 \cdot 3^n = 3^n (1 + 2) = 3^n \cdot 3 = 3^{n+1}.$

Bây giờ, ta cần xem xét tính chất chia hết của $3^{n+1}$ cho 10.

Một cách tiện lợi là xem xét chu kỳ của $3^n$ modulo 10:

- $3^1 \equiv 3 \mod 10$
- $3^2 \equiv 9 \mod 10$
- $3^3 \equiv 27 \equiv 7 \mod 10$
- $3^4 \equiv 81 \equiv 1 \mod 10$

Sau $3^4$, chu kỳ này lặp lại (bắt đầu lại từ $3^1$). Như vậy, chu kỳ của $3^n \mod 10$ là 4.

Bây giờ, ta xem $n \mod 4$:

- Nếu $n \equiv 0 \mod 4$: $3^{n+1} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 10$
- Nếu $n \equiv 1 \mod 4$: $3^{n+1} \equiv 3^2 \equiv 9 \mod 10$
- Nếu $n \equiv 2 \mod 4$: $3^{n+1} \equiv 3^3 \equiv 7 \mod 10$
- Nếu $n \equiv 3 \mod 4$: $3^{n+1} \equiv 3^4 \equiv 1 \mod 10$

Từ các tính toán trên, ta thấy rằng $3^{n+1} \mod 10$ không bao giờ bằng 0.

Do đó, $3^n + 2 \cdot 3^n = 3^{n+1}$ không chia hết cho 10.

Như vậy, kết luận là $3^n + 2 \cdot 3^n$ không chia hết cho 10 với mọi $n \in \mathbb{N}$.