Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

### Bài toán:
Cho đoạn thẳng \(AB\) dài \(6 \, \text{cm}\). Trên đoạn thẳng \(AB\), lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4 \, \text{cm}\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AM\).

a) Tính độ dài của \(AN\) và \(NB\).

b) M có phải là trung điểm của \(NB\) không? Vì sao?

c) Trên tia đối của tia \(AB\), lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 2 \, \text{cm}\). \(A\) có phải là trung điểm của \(EN\) không? Vì sao? \(N\) có phải là trung điểm của \(EB\) không? Vì sao?

### Giải:

**a) Tính độ dài của \(AN\) và \(NB\)**

1. **Tính \(AN\):**
- Vì \(N\) là trung điểm của \(AM\), ta có:
\[
AN = \frac{AM}{2} = \frac{4 \, \text{cm}}{2} = 2 \, \text{cm}
\]

2. **Tính \(NB\):**
- Tổng độ dài của \(AB\) là \(6 \, \text{cm}\), và chúng ta biết \(AM = 4 \, \text{cm}\).
- Do đó, \(MB = AB - AM = 6 \, \text{cm} - 4 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}\).
- Vì \(N\) là trung điểm của \(AM\), nên:
\[
NB = MB = 2 \, \text{cm}
\]

**Kết luận:**
\[
AN = 2 \, \text{cm}, \quad NB = 2 \, \text{cm}
\]

**b) M có phải là trung điểm của \(NB\) không? Vì sao?**

- Xét độ dài của \(NB\):
\[
NB = 2 \, \text{cm}
\]
- Đoạn \(AM\) được chia đều tại \(N\) với \(AN = 2 \, \text{cm}\) và \(NM = 2 \, \text{cm}\), do đó \(M\) không phải là trung điểm của \(NB\) vì \(NB = 2 \, \text{cm}\) và \(NM\) không nằm trong đoạn \(NB\) mà nằm trên đoạn \(AM\).

**Kết luận:**
- \(M\) không phải là trung điểm của \(NB\).

**c) Trên tia đối của tia \(AB\), lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 2 \, \text{cm}\).**

1. **Xem xét \(A\) có phải là trung điểm của \(EN\) không?**

- Vì \(E\) nằm trên tia đối của tia \(AB\), do đó đoạn \(AE\) có chiều dài là \(2 \, \text{cm}\).
- Đoạn \(EN\) có thể được tính bằng tổng của đoạn \(AE\) và đoạn \(AN\):
\[
EN = AE + AN = 2 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}
\]
- Do đó:
\[
AN = 2 \, \text{cm}, \quad EN = 4 \, \text{cm}
\]
- Vì \(A\) không nằm ở giữa đoạn \(EN\) mà \(AN\) chỉ bằng một nửa \(EN\), do đó \(A\) không phải là trung điểm của \(EN\).

2. **Xem xét \(N\) có phải là trung điểm của \(EB\) không?**

- Đoạn \(EB\) có thể được tính bằng:
\[
EB = EA + AB = 2 \, \text{cm} + 6 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}
\]
- Chúng ta biết rằng:
\[
EN = 4 \, \text{cm}, \quad EB = 8 \, \text{cm}
\]
- Do đó:
\[
EN = \frac{EB}{2}
\]
- Vì vậy, \(N\) nằm chính giữa đoạn \(EB\), tức là \(N\) là trung điểm của \(EB\).

**Kết luận:**
- \(A\) không phải là trung điểm của \(EN\).
- \(N\) là trung điểm của \(EB\).