Chúng ta sẽ giải từng bài toán từng bước một.

### A. \( \frac{13}{15} + \frac{4}{7} - \frac{101}{105} \)

**Bước 1: Tìm mẫu số chung.**

Mẫu số chung nhỏ nhất của \(15\), \(7\), và \(105\) là \(105\).

**Bước 2: Chuyển các phân số về mẫu số chung là \(105\).**

- \(\frac{13}{15}\) cần được quy đổi về mẫu số \(105\):
\[
\frac{13}{15} = \frac{13 \times 7}{15 \times 7} = \frac{91}{105}
\]

- \(\frac{4}{7}\) cần được quy đổi về mẫu số \(105\):
\[
\frac{4}{7} = \frac{4 \times 15}{7 \times 15} = \frac{60}{105}
\]

- \(\frac{101}{105}\) đã có mẫu số \(105\), nên không cần quy đổi.

**Bước 3: Thực hiện phép cộng và trừ các phân số.**

\[
\frac{91}{105} + \frac{60}{105} - \frac{101}{105} = \frac{91 + 60 - 101}{105} = \frac{50}{105}
\]

**Bước 4: Rút gọn phân số \(\frac{50}{105}\).**

Tìm ước chung lớn nhất của \(50\) và \(105\), đó là \(5\):
\[
\frac{50 \div 5}{105 \div 5} = \frac{10}{21}
\]

Vậy kết quả của bài toán A là:

\[
\frac{10}{21}
\]

---

### B. \( \frac{1}{2} : \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \)

**Bước 1: Thực hiện phép chia.**

Khi chia phân số, ta nhân phân số đầu tiên với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[
\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2
\]

**Bước 2: Thực hiện phép trừ.**

\[
2 - \frac{1}{6}
\]

Chuyển số \(2\) thành phân số với mẫu số \(6\):
\[
2 = \frac{12}{6}
\]

Vậy:
\[
\frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{12 - 1}{6} = \frac{11}{6}
\]

Vậy kết quả của bài toán B là:

\[
\frac{11}{6}
\]