Để xét sự biến thiên của các hàm số, ta cần phân tích các yếu tố như đạo hàm, các điểm cực trị, và tính chất của hàm số trong khoảng xác định.

### 1. Hàm số \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \) trên khoảng \([-1, +\infty)\)

- **Xác định miền xác định**: Hàm số \( \sqrt{x} \) chỉ có nghĩa khi \( x \geq 0 \). Vậy miền xác định của hàm số là \([0, +\infty)\).

- **Tính đạo hàm**:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
Đạo hàm \( f'(x) \) chỉ xác định khi \( x > 0 \) và \( f'(x) > 0 \) cho mọi \( x > 0 \). Điều này cho thấy hàm số \( f(x) \) là đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \).

- **Tính chất tại \( x = 0 \)**:
\[
f'(0^+) = \frac{1}{2\sqrt{0}} \text{ (không xác định)}
\]
Nhưng khi \( x \to 0^+ \), \( f'(x) \to +\infty \). Điều này cho thấy tại \( x = 0 \), hàm số có một điểm nhô lên (không có cực trị tại điểm này nhưng hàm số tăng rất nhanh gần điểm này).

- **Tổng kết**:
- Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \( [0, +\infty) \).
- Tại \( x = 0 \), hàm số có giá trị \( f(0) = \sqrt{0} + 1 = 1 \).
- Hàm số không xác định trên khoảng \([-1, 0)\) và không có cực trị.

### 2. Hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \)

#### a) Trên khoảng \( (0, 1) \)

- **Xác định miền xác định**: Hàm số \( x^2 - 2x + 5 \) là một hàm bậc 2 và có nghĩa trên toàn bộ miền số thực, bao gồm khoảng \( (0, 1) \).

- **Tính đạo hàm**:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x + 5) = 2x - 2
\]
- Đạo hàm \( f'(x) = 2x - 2 \).

- **Tìm điểm cực trị**:
\[
f'(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1
\]
- Điểm \( x = 1 \) không nằm trong khoảng \( (0, 1) \), nên hàm số không có điểm cực trị trong khoảng này.

- **Tính chất hàm số**:
\[
f'(x) > 0 \text{ khi } x > 1 \text{ và } f'(x) < 0 \text{ khi } x < 1
\]
- Trong khoảng \( (0, 1) \), \( f'(x) < 0 \). Điều này cho thấy hàm số giảm trong khoảng \( (0, 1) \).

- **Tổng kết**:
- Hàm số \( f(x) \) giảm trong khoảng \( (0, 1) \).

#### b) Trên khoảng \( (1, +\infty) \)

- **Tính chất hàm số**:
- Trong khoảng \( (1, +\infty) \), \( f'(x) > 0 \), nghĩa là hàm số đồng biến.

- **Tổng kết**:
- Hàm số \( f(x) \) tăng trong khoảng \( (1, +\infty) \).

### Tổng kết

- **Hàm số \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \) trên \([-1, +\infty)\)**:
- Miền xác định thực sự là \([0, +\infty)\).
- Hàm số đồng biến trên \([0, +\infty)\).

- **Hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \)**:
- Trên khoảng \( (0, 1) \), hàm số giảm.
- Trên khoảng \( (1, +\infty) \), hàm số tăng.

Để xét sự biến thiên của các hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Hàm số ( f(x) = \sqrt{x} + 1 ) trên ([-1; +\infty))
Tập xác định: Hàm số xác định khi ( x \geq -1 ). Do đó, tập xác định là ([-1; +\infty)).
Đạo hàm: [ f’(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ] Đạo hàm này xác định khi ( x > 0 ).
Xét dấu đạo hàm:

Khi ( x > 0 ), ( f’(x) > 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ((0; +\infty)).
Tại ( x = 0 ), ( f’(x) ) không xác định, nhưng ta có thể kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm này.
Kết luận: Hàm số ( f(x) = \sqrt{x} + 1 ) đồng biến trên khoảng ((0; +\infty)).
b) Hàm số ( f(x) = x^2 - 2x + 5 ) trên các khoảng ((0; 1)) và ((1; 0))
Tập xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ trục số thực (\mathbb{R}).
Đạo hàm: [ f’(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x + 5) = 2x - 2 ]
Xét dấu đạo hàm:

Trên khoảng ((0; 1)): [ f’(x) = 2x - 2 ] Khi ( 0 < x < 1 ), ( 2x - 2 < 0 ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ((0; 1)).
Trên khoảng ((1; 0)): [ f’(x) = 2x - 2 ] Khi ( 1 < x < 0 ), ( 2x - 2 > 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ((1; 0)).
Kết luận:

Hàm số ( f(x) = x^2 - 2x + 5 ) nghịch biến trên khoảng ((0; 1)).
Hàm số đồng biến trên khoảng ((1; 0)).