Để kiểm tra xem biểu thức \( A = a(a^2 - 1)(a^2 + 1) \) có chia hết cho 30 không với \( a \) thuộc tập số nguyên (\(\mathbb{Z}\)), ta cần kiểm tra các điều kiện chia hết cho các ước số của 30. Ta biết rằng \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \), vì vậy ta cần kiểm tra xem \( A \) có chia hết cho 2, 3, và 5 không.

**1. Kiểm tra chia hết cho 2:**

Biểu thức \( A \) bao gồm ba nhân tử:

- \( a \)
- \( a^2 - 1 \)
- \( a^2 + 1 \)

Mỗi trong ba nhân tử này có thể là số chẵn hoặc số lẻ, nhưng xét các trường hợp cụ thể:

- Nếu \( a \) là số chẵn, thì \( a^2 \) cũng là số chẵn, do đó \( a^2 - 1 \) và \( a^2 + 1 \) là hai số lẻ liên tiếp, nên một trong số đó phải là số chẵn. Như vậy, \( a^2 - 1 \) hoặc \( a^2 + 1 \) phải chia hết cho 2.

- Nếu \( a \) là số lẻ, \( a^2 \) là số lẻ, và do đó \( a^2 - 1 \) và \( a^2 + 1 \) là hai số chẵn liên tiếp. Một trong số đó phải chia hết cho 4, nên chắc chắn ít nhất một trong hai số \( a^2 - 1 \) hoặc \( a^2 + 1 \) sẽ chia hết cho 2.

Trong cả hai trường hợp, ít nhất một trong ba nhân tử của \( A \) chia hết cho 2, và tổng hợp ba nhân tử sẽ luôn chia hết cho 2.

**2. Kiểm tra chia hết cho 3:**

- Xét \( a \mod 3 \):

- Nếu \( a \equiv 0 \pmod{3} \), thì \( a \) chia hết cho 3.
- Nếu \( a \equiv 1 \pmod{3} \), thì \( a^2 \equiv 1 \pmod{3} \), nên \( a^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \).
- Nếu \( a \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( a^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \), nên \( a^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \).

Trong tất cả các trường hợp, \( A \) luôn chia hết cho 3 vì ít nhất một trong ba nhân tử chia hết cho 3.

**3. Kiểm tra chia hết cho 5:**

- Xét \( a \mod 5 \):

- Nếu \( a \equiv 0 \pmod{5} \), thì \( a \) chia hết cho 5.
- Nếu \( a \equiv 1 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 1 \pmod{5} \), nên \( a^2 - 1 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 2 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 4 \pmod{5} \), nên \( a^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 3 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \), nên \( a^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( a \equiv 4 \pmod{5} \), thì \( a^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} \), nên \( a^2 - 1 \equiv 0 \pmod{5} \).

Trong tất cả các trường hợp, \( A \) luôn chia hết cho 5 vì ít nhất một trong ba nhân tử chia hết cho 5.

**Kết luận:**

Biểu thức \( A = a(a^2 - 1)(a^2 + 1) \) luôn chia hết cho 30 với mọi \( a \in \mathbb{Z} \).