Để giải bài toán này, chúng ta cần tính khối lượng của nút dựa trên sự thay đổi áp suất khi nhiệt độ của không khí trong bình thay đổi. Dưới đây là các bước chi tiết để tính khối lượng \( m \) của nút.

### 1. **Xác định áp suất trong bình khi đun nóng**

- Nhiệt độ phòng: \( T_1 = 27^\circ \text{C} = 273 + 27 = 300 \text{ K} \)
- Nhiệt độ khi đun nóng: \( T_2 = 87^\circ \text{C} = 273 + 87 = 360 \text{ K} \)

Áp suất khí trong bình khi nhiệt độ phòng là 1 atm (áp suất khí quyển \( p_0 = 1 \text{ atm} \)). Khi đun nóng, theo định luật khí lý tưởng:

\[
\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}
\]

Trong đó:
- \( p_1 \) là áp suất khí trong bình lúc đầu (so với áp suất khí quyển), \( p_1 = 1 \text{ atm} \).
- \( p_2 \) là áp suất khí trong bình khi nhiệt độ tăng lên.

Tính \( p_2 \):

\[
p_2 = p_1 \times \frac{T_2}{T_1}
\]

\[
p_2 = 1 \text{ atm} \times \frac{360 \text{ K}}{300 \text{ K}} = 1.2 \text{ atm}
\]

### 2. **Tính lực đẩy của khí lên nút**

Áp suất khí trong bình tăng lên thành 1.2 atm khi đun nóng. Do đó, sự gia tăng áp suất trong bình là:

\[
\Delta p = p_2 - p_1 = 1.2 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 0.2 \text{ atm}
\]

Chuyển đổi đơn vị áp suất từ atm sang Pa:

\[
0.2 \text{ atm} = 0.2 \times 10^5 \text{ Pa} = 20000 \text{ Pa}
\]

Diện tích miệng bình là:

\[
S = 1.5 \text{ cm}^2 = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2
\]

Lực tác động lên nút (do sự gia tăng áp suất):

\[
F = \Delta p \times S
\]

\[
F = 20000 \text{ Pa} \times 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 3 \text{ N}
\]

### 3. **Tính khối lượng của nút**

Khối lượng của nút \( m \) sẽ gây ra một lực nén bằng trọng lực của nó:

\[
F = m \times g
\]

Trong đó:
- \( g = 10 \text{ m/s}^2 \)

Giải cho \( m \):

\[
m = \frac{F}{g}
\]

\[
m = \frac{3 \text{ N}}{10 \text{ m/s}^2} = 0.3 \text{ kg}
\]

### Kết luận

Khối lượng của nút là \( 0.3 \text{ kg} \).

Để tính khối lượng của nút (\( m \)), chúng ta sẽ sử dụng định luật khí lý tưởng và điều kiện cân bằng lực.

### Bước 1: Tính áp suất khí trong bình ở nhiệt độ 27 °C và 87 °C

- **Áp suất khí quyển**: \( P_0 = 1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa} \)
- **Áp suất khí trong bình**:
\[
P_1 = P_0 + 1 \, \text{atm} = 1 \, \text{atm} + 1 \, \text{atm} = 2 \, \text{atm} = 2 \times 101325 \, \text{Pa} = 202650 \, \text{Pa}
\]

#### Nhiệt độ ban đầu:
- \( T_1 = 27 \, \text{°C} = 27 + 273 = 300 \, \text{K} \)

#### Nhiệt độ sau khi đun nóng:
- \( T_2 = 87 \, \text{°C} = 87 + 273 = 360 \, \text{K} \)

### Bước 2: Tính áp suất khí trong bình khi tăng nhiệt độ lên 87 °C

Theo định luật Gay-Lussac:

\[
\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}
\]

Suy ra:

\[
P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
P_2 = 202650 \cdot \frac{360}{300}
\]

Tính giá trị:

\[
P_2 = 202650 \cdot 1.2 = 243180 \, \text{Pa}
\]

### Bước 3: Tính lực tác dụng lên nút

- **Tiết diện miệng bình:**
\[
S = 1.5 \, \text{cm}^2 = 1.5 \times 10^{-4} \, \text{m}^2
\]

- **Lực do áp suất khí trong bình tác dụng lên nút:**
\[
F_{th} = P_2 \cdot S = 243180 \cdot (1.5 \times 10^{-4}) = 36.477 \, \text{N}
\]

### Bước 4: Lực tác dụng bởi trọng lực

- **Trọng lực tác dụng lên nút:**
\[
F_{g} = m \cdot g
\]

### Bước 5: Cân bằng lực

Khi nút bị đẩy lên, lực tác dụng do khí là lớn hơn trọng lực:

\[
F_{th} > F_g
\]
\[
243180 \cdot (1.5 \times 10^{-4}) > m \cdot 10
\]
\[
36.477 > m \cdot 10
\]
\[
m < \frac{36.477}{10}
\]
\[
m < 3.6477 \, \text{kg}
\]

### Kết luận
Khối lượng nút \( m \) phải nhỏ hơn 3.648 kg. Tuy nhiên, để tìm khối lượng cụ thể mà vẫn giữ cân bằng, ta cần xác định lực chính xác hơn. Với lực là cân bằng giữa áp suất khí trong bình và trọng lực mô hình cho thấy rằng có một giá trị khối lượng cụ thể hoặc phương pháp kiểm tra với tình huống thực tế cần thiết để đưa ra giá trị chính xác.