Để chứng minh ( AE \cdot AB = AF \cdot AC ) trong tam giác ( ABC ) với đường cao ( AH ), ta thực hiện các bước sau:

Xét các tam giác vuông:

Tam giác ( AHE ) vuông tại ( E ) vì ( HE \perp AB ).
Tam giác ( AHF ) vuông tại ( F ) vì ( HF \perp AC ).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trong tam giác ( AHE ): [ \sin \angle HAE = \frac{HE}{AH} ]
Trong tam giác ( AHF ): [ \sin \angle HAF = \frac{HF}{AH} ]
Sử dụng định lý sin trong tam giác ( AHE ) và ( AHF ):

Trong tam giác ( AHE ): [ \sin \angle HAE = \frac{AE}{AH} ]
Trong tam giác ( AHF ): [ \sin \angle HAF = \frac{AF}{AH} ]
Sử dụng tính chất của góc:

Vì ( \angle HAE = \angle HAF ) (cùng là góc ( \angle BAC )), ta có: [ \frac{AE}{AH} = \frac{AF}{AH} ]
Suy ra: [ AE = AF ]
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trong tam giác ( AHE ): [ AE \cdot AB = AH \cdot HE ]
Trong tam giác ( AHF ): [ AF \cdot AC = AH \cdot HF ]
Kết hợp các hệ thức:

Vì ( AE = AF ), ta có: [ AE \cdot AB = AF \cdot AC ]
Vậy, ta đã chứng minh được ( AE \cdot AB = AF \cdot AC 

Để chứng minh ( AE \cdot AB = AF \cdot AC ) trong tam giác ( ABC ) với đường cao ( AH ), ta thực hiện các bước sau:

Xét các tam giác vuông:
Tam giác ( AHE ) vuông tại ( E ) vì ( HE \perp AB ).
Tam giác ( AHF ) vuông tại ( F ) vì ( HF \perp AC ).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trong tam giác ( AHE ): [ \sin \angle HAE = \frac{HE}{AH} ]
Trong tam giác ( AHF ): [ \sin \angle HAF = \frac{HF}{AH} ]
Sử dụng định lý sin trong tam giác ( AHE ) và ( AHF ):
Trong tam giác ( AHE ): [ \sin \angle HAE = \frac{AE}{AH} ]
Trong tam giác ( AHF ): [ \sin \angle HAF = \frac{AF}{AH} ]
Sử dụng tính chất của góc:
Vì ( \angle HAE = \angle HAF ) (cùng là góc ( \angle BAC )), ta có: [ \frac{AE}{AH} = \frac{AF}{AH} ]
Suy ra: [ AE = AF ]
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Trong tam giác ( AHE ): [ AE \cdot AB = AH \cdot HE ]
Trong tam giác ( AHF ): [ AF \cdot AC = AH \cdot HF ]
Kết hợp các hệ thức:
Vì ( AE = AF ), ta có: [ AE \cdot AB = AF \cdot AC ]
Vậy, ta đã chứng minh được ( AE \cdot AB = AF \cdot AC