Để tính giá trị của \( V \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định phản ứng hóa học**:
Khi hòa tan hỗn hợp \( \text{ZnCO}_3 \) và \( \text{BaCO}_3 \) trong \( \text{H}_2\text{SO}_4 \) loãng, các phản ứng xảy ra như sau:

\[
\text{ZnCO}_3 + \text{H}_2\text{SO}_4 \rightarrow \text{ZnSO}_4 + \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O}
\]
\[
\text{BaCO}_3 + \text{H}_2\text{SO}_4 \rightarrow \text{BaSO}_4 + \text{CO}_2 + \text{H}_2\text{O}
\]

Trong đó, \( \text{BaSO}_4 \) là kết tủa và \( \text{CO}_2 \) là khí thoát ra.

2. **Tính số mol kết tủa**:
Khối lượng của kết tủa \( \text{BaSO}_4 \) là 13,98 gam.
Khối lượng mol của \( \text{BaSO}_4 \) là:

\[
M_{\text{BaSO}_4} = 137 + 32 + 4 \times 16 = 233 \text{ gam/mol}
\]

Do đó, số mol \( \text{BaSO}_4 \) là:

\[
n_{\text{BaSO}_4} = \frac{13,98}{233} = 0,06 \text{ mol}
\]

3. **Tính số mol của các hợp chất ban đầu**:
Từ phản ứng, số mol \( \text{BaCO}_3 \) sẽ bằng số mol \( \text{BaSO}_4 \). Vậy số mol \( \text{BaCO}_3 \) là 0,06 mol.

Khối lượng của \( \text{BaCO}_3 \) trong hỗn hợp là:

\[
m_{\text{BaCO}_3} = n_{\text{BaCO}_3} \times M_{\text{BaCO}_3} = 0,06 \times (137 + 12 + 3 \times 16) = 0,06 \times 197 = 11,82 \text{ gam}
\]

4. **Tính khối lượng của \( \text{ZnCO}_3 \) trong hỗn hợp**:
Khối lượng của hỗn hợp \( X \) là 23,07 gam. Vậy khối lượng của \( \text{ZnCO}_3 \) là:

\[
m_{\text{ZnCO}_3} = 23,07 - 11,82 = 11,25 \text{ gam}
\]

Khối lượng mol của \( \text{ZnCO}_3 \) là:

\[
M_{\text{ZnCO}_3} = 65 + 12 + 3 \times 16 = 125 \text{ gam/mol}
\]

Do đó, số mol \( \text{ZnCO}_3 \) là:

\[
n_{\text{ZnCO}_3} = \frac{11,25}{125} = 0,09 \text{ mol}
\]

5. **Tính thể tích khí thoát ra**:
Trong phản ứng, mỗi mol \( \text{ZnCO}_3 \) và \( \text{BaCO}_3 \) sinh ra 1 mol \( \text{CO}_2 \). Tổng số mol khí \( \text{CO}_2 \) sinh ra là:

\[
n_{\text{CO}_2} = n_{\text{ZnCO}_3} + n_{\text{BaCO}_3} = 0,09 + 0,06 = 0,15 \text{ mol}
\]

Với điều kiện tiêu chuẩn (STP), 1 mol khí \( \text{CO}_2 \) chiếm thể tích 22,4 lít. Do đó, thể tích khí \( \text{CO}_2 \) là:

\[
V = 0,15 \times 22,4 = 3,36 \text{ lít}
\]

**Kết luận**: Thể tích khí \( \text{CO}_2 \) thoát ra là \( 3,36 \text{ lít} \).