Để giải bài toán này, chúng ta sẽ giả sử một hình vẽ cho tam giác \(ABC\) và điểm \(D\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BD = \frac{2}{3}DC\). Ngoài ra, \(AD\) là một đường thẳng với các điểm \(M\) và \(E\) sao cho \(AM = ME = ED\). Cuối cùng, chúng ta sẽ tính diện tích tam giác \(ABC\) dựa trên yếu tố diện tích tam giác \(BED = 4 \, \text{cm}^2\).

### Giải thích các yếu tố trong hình vẽ

1. **Điểm D:** Chia cạnh \(BC\) thành hai đoạn với tỷ lệ \(BD:DC = 2:1\).
- Gọi chiều dài \(DC = x\) thì \(BD = \frac{2}{3}x\)
- Tổng chiều dài \(BC = BD + DC = \frac{2}{3}x + x = \frac{5}{3}x\)

2. **Điểm M và E:** Là các điểm chia độ dài \(AD\) thành các đoạn bằng nhau.
- \(AM = ME = ED = y\)

### Diện tích tam giác

#### 1. Tính diện tích tam giác \(AED\)

- Tam giác \(AED\) là tam giác đơn giản với \(AD\) là chiều cao.
- Diện tích của tam giác \(BED\) đã cho là \(4 \, \text{cm}^2\).

#### 2. Tính diện tích tam giác \(ABC\)

Thông qua tỉ lệ giữa các tam giác trong hình vẽ:

- Tam giác \(BED\) có chiều cao bằng \(y\).
- Tam giác \(CBD\) có cùng chiều cao với tam giác \(BED\) nhưng có chiều rộng \(BC = BD + DC = \frac{5}{3}x\).

Vì \(BD:DC = 2:1\), nên chiều dài \(BC\) có thể chia thành ba phần:

- Chiều cao đến \(M\) sẽ tạo thành tỷ lệ giữa các tam giác tương ứng:
\[
[\triangle ABC] = [\triangle ABD] + [\triangle ACD]
\]

Mà:
- Diện tích \([\triangle ABD] = \frac{1}{2}\times BD \times h\)
- Diện tích \([\triangle ACD] = \frac{1}{2}\times DC \times h\)

Do đó tỷ lệ:
\[
[\triangle ABC] = \frac{5}{3} \cdot [\triangle ABE]
\]

#### 3. Tính tổng diện tích:

- Tổng bậc là \([\triangle AED] = [\triangle BED] + [\triangle ABE]\)

Vì \(M\) là trung điểm, ta có:
- \([\triangle AED] = 2 \times [\triangle BED] = 2 \times 4 = 8 \, \text{cm}^2\)

Cuối cùng, để tính diện tích của tam giác \(ABC\), ta sẽ có:

\[
[\triangle ABC] = \frac{5}{3} \cdot 8 = \frac{40}{3} \approx 13.33 \, \text{cm}^2
\]

### Kết luận

Diện tích của tam giác \(ABC\) là khoảng \(13.33 \, \text{cm}^2\).

**Ghi chú:** Các cách tính có thể khác nhau tùy thuộc vào độ chính xác và độ phức tạp của hình vẽ thực tế. Hãy vẽ đúng và kiểm tra lại các số liệu.