### Bài 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử

#### a) \( x^3 - 4x^2 - 12x + 27 \)

1. **Nhóm các hạng tử**:
- Nhóm các hạng tử: \( (x^3 - 4x^2) - (12x - 27) \).

2. **Tách từng nhóm và phân tích**:
- Tách nhóm \(x^3 - 4x^2\):

\[
x^3 - 4x^2 = x^2(x - 4)
\]

- Tách nhóm \(-12x + 27\):

\[
-12x + 27 = -3(4x - 9)
\]

- Vì vậy, ta có:

\[
x^3 - 4x^2 - 12x + 27 = x^2(x - 4) - 3(4x - 9)
\]

3. **Tìm kiếm một cách phân tích khác**:
- Dùng phương pháp thử nghiệm các nghiệm để phân tích đa thức:

- Thử nghiệm giá trị \(x = 1\) (thay vào đa thức):

\[
1^3 - 4 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 27 = 1 - 4 - 12 + 27 = 12
\]

- Thử nghiệm giá trị \(x = 3\):

\[
3^3 - 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 27 = 27 - 36 - 36 + 27 = -18
\]

- Thử nghiệm giá trị \(x = 3\):

\[
3^3 - 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 27 = 27 - 36 - 36 + 27 = 0
\]

- Vì vậy, \(x = 3\) là một nghiệm. Phân tích đa thức bằng cách chia đa thức cho \(x - 3\):

- Thực hiện phép chia \(x^3 - 4x^2 - 12x + 27\) cho \(x - 3\):

- Ta có \(x^3 - 4x^2 - 12x + 27 = (x - 3)(x^2 - x - 9)\).

- Tìm nhân tử của \(x^2 - x - 9\):

\[
x^2 - x - 9 = (x - 3)(x + 3)
\]

- Phân tích hoàn chỉnh là:

\[
x^3 - 4x^2 - 12x + 27 = (x - 3)^2(x + 3)
\]

#### b) \( x^2 - 3y^2 + 12x + 12y \)

1. **Nhóm các hạng tử**:
- Nhóm các hạng tử: \( (x^2 + 12x) - (3y^2 - 12y) \).

2. **Hoàn thành bình phương**:
- Hoàn thành bình phương cho từng nhóm:
- \(x^2 + 12x\):

\[
x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36
\]

- \(3y^2 - 12y\):

\[
3y^2 - 12y = 3(y^2 - 4y) = 3[(y - 2)^2 - 4] = 3(y - 2)^2 - 12
\]

3. **Thay vào biểu thức và phân tích**:

\[
x^2 - 3y^2 + 12x + 12y = (x + 6)^2 - 36 - 3(y - 2)^2 + 12
\]

4. **Phân tích hoàn chỉnh**:

- Sử dụng phương pháp phân tích khác (thử nghiệm các biến) có thể giúp, nhưng không phải lúc nào kết quả cũng rõ ràng. Dễ nhất là sử dụng phần mềm hoặc công cụ hỗ trợ cho các phương trình phức tạp.

- Kết quả đơn giản của phân tích này là:

\[
x^2 - 3y^2 + 12x + 12y = (x + 6 - \sqrt{3}y - 2\sqrt{3})(x + 6 + \sqrt{3}y + 2\sqrt{3})
\]

### Bài 2: Tìm \(x\)

#### a) \(x(x - 2) + x - 2 = 0\)

1. **Nhóm và sắp xếp lại các hạng tử**:

\[
x(x - 2) + x - 2 = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 = 0
\]

2. **Phân tích đa thức thành nhân tử**:

\[
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
\]

3. **Tìm nghiệm**:

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

- Các nghiệm là \(x - 2 = 0\) và \(x + 1 = 0\):

\[
x = 2 \text{ hoặc } x = -1
\]

#### b) \(5x^3 - 5x = 0\)

1. **Nhóm và phân tích**:

\[
5x^3 - 5x = 5x(x^2 - 1)
\]

- \(x^2 - 1\) có thể phân tích thêm:

\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\]

2. **Kết hợp và phân tích hoàn chỉnh**:

\[
5x(x^2 - 1) = 5x(x - 1)(x + 1)
\]

3. **Tìm nghiệm**:

- Các nghiệm từ \(5x(x - 1)(x + 1) = 0\):

\[
x = 0, \, x - 1 = 0 \implies x = 1, \, x + 1 = 0 \implies x = -1
\]

**Kết luận:**

- **Bài 1:**
- a) \( x^3 - 4x^2 - 12x + 27 = (x - 3)^2(x + 3) \)
- b) \( x^2 - 3y^2 + 12x + 12y = (x + 6 - \sqrt{3}y - 2\sqrt{3})(x + 6 + \sqrt{3}y + 2\sqrt{3}) \)

- **Bài 2:**
- a) \( x(x - 2) + x - 2 = 0 \) có nghiệm là \( x = 2 \text{ hoặc } x = -1 \)
- b) \( 5x^3 - 5x = 0 \) có nghiệm là \( x = 0, x = 1, x = -1 \)