Cho x,y>0 và x²+y²+1=3xy. Tính A=x²²³+2023y

Chauu Bao

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 21:39 16/07/2024

Câu hỏi trắc nghiệm Toán 8 có đáp án

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 câu trả lời 206

Nọc

2 năm trước

Để giải bài toán, ta cần tìm giá trị của \( A = x^{2023} + 2023y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 + 1 = 3xy \) và \(x, y > 0\).

### Phân tích và giải phương trình:

**1. Phân tích phương trình:**

Ta có phương trình:

\[ x^2 + y^2 + 1 = 3xy \]

**2. Chuyển đổi phương trình:**

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức \( (x - y)^2 \geq 0 \) để kiểm tra phương trình:

\[
(x - y)^2 \geq 0
\]

Mở rộng bất đẳng thức này:

\[
x^2 - 2xy + y^2 \geq 0
\]

Cộng 1 vào cả hai vế:

\[
x^2 - 2xy + y^2 + 1 \geq 1
\]

Theo điều kiện bài toán, ta có:

\[
x^2 + y^2 + 1 = 3xy
\]

Thay vào bất đẳng thức:

\[
3xy - 2xy \geq 1
\]

\[
xy \geq 1
\]

**3. Tìm giá trị đặc biệt:**

Xét trường hợp đặc biệt khi \(x = y\):

Khi \(x = y\), phương trình trở thành:

\[
x^2 + x^2 + 1 = 3x^2
\]

\[
2x^2 + 1 = 3x^2
\]

\[
1 = x^2
\]

\[
x = 1 \text{ (vì } x > 0)
\]

Vậy, khi \(x = y = 1\):

Thay vào \(x\) và \(y\):

\[
x = 1, \quad y = 1
\]

**4. Tính giá trị của \(A\):**

Ta cần tính:

\[
A = x^{2023} + 2023y
\]

Với \(x = 1\) và \(y = 1\):

\[
x^{2023} = 1^{2023} = 1
\]

\[
2023y = 2023 \times 1 = 2023
\]

\[
A = 1 + 2023 = 2024
\]

### Kết luận:

Giá trị của \(A\) là:

\[
\boxed{2024}
\]

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

★꧁☁︎જ⁀➴✞༺S͜͡øN͜͡G͜͡ ༒︎ N͜͡G͜͡ư༻✞જ⁀➴☁︎꧂★

5 tháng trước

Các bước giải chi tiết
1. Biến đổi phương trình ban đầu:
Chuyển vế phương trình: \(x^3 + y^3 + 1 - 3xy = 0\).
Áp dụng hằng đẳng thức: \(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\).
Thay \(a=x\), \(b=y\), \(c=1\):
\((x+y+1)(x^{2}+y^{2}+1-xy-x-y)=0\) [1]

2. Tìm nghiệm \(x, y\):
Vì \(x, y > 0\) nên \(x+y+1 > 0\). [1]
Suy ra: \(x^2+y^2+1 - xy - x - y = 0\).
Nhân cả hai vế với \(2\):
\(2x^{2}+2y^{2}+2-2xy-2x-2y=0\)
Nhóm thành các bình phương:
\((x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=0\)
Vì bình phương luôn không âm:\(x - y = 0 \implies x = y\)
\(x - 1 = 0 \implies x = 1\)
\(y - 1 = 0 \implies y = 1\)

Kết luận nghiệm: \(x = 1\) và \(y = 1\).

3. Tính giá trị biểu thức \(A\):
Thay \(x=1, y=1\) vào biểu thức:
\(A=1^{2023}+2023\cdot 1\)
\(A=1+2023=2024\)

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết