Để tính tổng các số hỗn hợp này, ta có thể chuyển chúng về dạng phân số tối giản và sau đó cộng lại. Hãy làm từng bước như sau:

1. **Chuyển các số hỗn hợp về dạng phân số:**

- \( 4 \frac{2}{5} = 4 + \frac{2}{5} = \frac{20}{5} + \frac{2}{5} = \frac{22}{5} \)
- \( 5 \frac{6}{9} = 5 + \frac{6}{9} = \frac{45}{9} + \frac{6}{9} = \frac{51}{9} = \frac{17}{3} \) (tối giản)
- \( 2 \frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} \)
- \( \frac{3}{5} \) (đã là phân số tối giản)
- \( \frac{1}{3} \) (đã là phân số tối giản)
- \( \frac{1}{4} \) (đã là phân số tối giản)

2. **Cộng các phân số lại với nhau:**

Đưa các phân số về cùng mẫu số chung là 60 (bội số chung nhỏ nhất của 5, 3 và 4):

- \( \frac{22}{5} = \frac{22 \times 12}{5 \times 12} = \frac{264}{60} \)
- \( \frac{17}{3} = \frac{17 \times 20}{3 \times 20} = \frac{340}{60} \)
- \( \frac{11}{4} = \frac{11 \times 15}{4 \times 15} = \frac{165}{60} \)
- \( \frac{3}{5} = \frac{36}{60} \)
- \( \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \)
- \( \frac{1}{4} = \frac{15}{60} \)

3. **Cộng các phân số đã đưa về cùng mẫu số:**

\( \frac{264}{60} + \frac{340}{60} + \frac{165}{60} + \frac{36}{60} + \frac{20}{60} + \frac{15}{60} \)

\( = \frac{264 + 340 + 165 + 36 + 20 + 15}{60} \)

\( = \frac{840}{60} \)

\( = 14 \)

Vậy, tổng của các số hỗn hợp là \( 14 \).