Để tìm cực trị của hàm số \( y = 2x + 1 + \frac{1}{x} \), chúng ta cần tìm giá trị đạo hàm đầu tiên và xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

1. **Tính đạo hàm đầu tiên của hàm số:**

\[ y = 2x + 1 + \frac{1}{x} \]

Đạo hàm của \( y \) là:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x + 1 + \frac{1}{x}) \]
\[ y' = 2 - \frac{1}{x^2} \]

2. **Tìm các điểm mà \( y' = 0 \):**

\[ 2 - \frac{1}{x^2} = 0 \]

Giải phương trình trên:

\[ 2 = \frac{1}{x^2} \]
\[ x^2 = \frac{1}{2} \]
\[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. **Kiểm tra dấu của \( y' \) xung quanh các điểm \( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) để xác định loại cực trị:**

- Với \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

Kiểm tra dấu của \( y' \) tại các điểm lân cận \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

- Nếu \( x < \frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \epsilon \), với \(\epsilon\) rất nhỏ, \( y' = 2 - \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2} - \epsilon)^2} < 0 \).
- Nếu \( x > \frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \epsilon \), với \(\epsilon\) rất nhỏ, \( y' = 2 - \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2} + \epsilon)^2} > 0 \).

Vì đạo hàm chuyển từ âm sang dương tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), đây là một điểm cực tiểu.

- Với \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):

Kiểm tra dấu của \( y' \) tại các điểm lân cận \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):

- Nếu \( x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \epsilon \), với \(\epsilon\) rất nhỏ, \( y' = 2 - \frac{1}{(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \epsilon)^2} > 0 \).
- Nếu \( x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \), chọn \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \epsilon \), với \(\epsilon\) rất nhỏ, \( y' = 2 - \frac{1}{(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \epsilon)^2} < 0 \).

Vì đạo hàm chuyển từ dương sang âm tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), đây là một điểm cực đại.

4. **Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:**

- Tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 + \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1 \]

- Tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ y\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 + \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{2} + 1 - \frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1 - 2\sqrt{2} \]

Vậy hàm số \( y = 2x + 1 + \frac{1}{x} \) có:

- Điểm cực tiểu tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) với giá trị cực tiểu \( y = 2\sqrt{2} + 1 \).
- Điểm cực đại tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) với giá trị cực đại \( y = 1 - 2\sqrt{2} \).