Để chứng minh các yêu cầu liên quan đến biểu thức \( A \) như bạn nêu ra, ta sẽ thực hiện từng bước một.

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{18} \]

### 1. Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 6
Để chứng minh \( A \) chia hết cho 6, chúng ta cần chứng minh \( A \) chia hết cho cả 2 và 3, vì 6 = 2 × 3.

#### a. Chứng minh \( A \) chia hết cho 2
Số 5 kết thúc bằng chữ số 5, và số 5 là số lẻ. Do đó, \( 5^n \) cũng là số lẻ đối với mọi \( n \). Tổng của các số lẻ sẽ luôn là số lẻ. Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh tổng này chia hết cho 2.

Ta xét tổng:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{18} \]

Ta cần kiểm tra tính chẵn lẻ của tổng này.

- \( 5 \equiv 1 \mod 2 \)
- \( 5^2 = 25 \equiv 1 \mod 2 \)
- \( 5^3 = 125 \equiv 1 \mod 2 \)
- ...

Rõ ràng rằng mỗi số hạng trong tổng \( 5^n \) (với \( n \ge 1 \)) đều có dạng \( 1 \mod 2 \). Tổng của 18 số 1 là 18, và 18 là một số chẵn, do đó tổng này chia hết cho 2.

#### b. Chứng minh \( A \) chia hết cho 3
Ta có:
\[ 5 \equiv 2 \mod 3 \]

Vì vậy, ta có:
\[ 5^n \equiv 2^n \mod 3 \]

Xét tổng:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{18} \equiv 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{18} \mod 3 \]

Chúng ta cần tìm tổng của \( 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{18} \mod 3 \).

- \( 2 \equiv -1 \mod 3 \)
- \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- \( 2^3 \equiv -1 \mod 3 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 3 \)
- ...

Chúng ta có thể thấy rằng chu kỳ lặp lại mỗi 2 số hạng:
\[ 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{18} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + \ldots + (-1) + 1 \]

Có 18 số hạng trong tổng này. Vì 18 là một số chẵn, ta có 9 cặp \((-1) + 1\), và mỗi cặp này bằng 0. Do đó tổng này chia hết cho 3.

Vì vậy, \( A \) chia hết cho cả 2 và 3, suy ra \( A \) chia hết cho 6.

### 2. Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 21
Để chứng minh \( A \) chia hết cho 21, chúng ta cần chứng minh \( A \) chia hết cho cả 3 và 7, vì 21 = 3 × 7.

#### a. Chứng minh \( A \) chia hết cho 3
Chứng minh \( A \) chia hết cho 3 đã được thực hiện ở phần trước.

#### b. Chứng minh \( A \) chia hết cho 7
Ta có:
\[ 5 \equiv -2 \mod 7 \]

Vì vậy, ta có:
\[ 5^n \equiv (-2)^n \mod 7 \]

Xét tổng:
\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{18} \equiv (-2) + (-2)^2 + (-2)^3 + \ldots + (-2)^{18} \mod 7 \]

Chúng ta cần tìm tổng của \( -2 + (-2)^2 + (-2)^3 + \ldots + (-2)^{18} \mod 7 \).

- \( -2 \equiv 5 \mod 7 \)
- \( (-2)^2 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( (-2)^3 \equiv -8 \equiv -1 \mod 7 \)
- \( (-2)^4 \equiv 16 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( (-2)^5 \equiv -32 \equiv -4 \mod 7 \)
- \( (-2)^6 \equiv 64 \equiv 1 \mod 7 \)
- \( (-2)^7 \equiv -128 \equiv -2 \mod 7 \)
- \( (-2)^8 \equiv 256 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( (-2)^9 \equiv -512 \equiv -1 \mod 7 \)
- \( (-2)^{10} \equiv 1024 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( (-2)^{11} \equiv -2048 \equiv -4 \mod 7 \)
- \( (-2)^{12} \equiv 4096 \equiv 1 \mod 7 \)

Như vậy, ta có chu kỳ lặp lại mỗi 6 số hạng:
\[ 5 + 4 - 1 + 2 - 4 + 1 \]

Tổng của chu kỳ này là:
\[ 5 + 4 - 1 + 2 - 4 + 1 = 7 \equiv 0 \mod 7 \]

Vì vậy, tổng này chia hết cho 7. Vì có 18 số hạng, tức là có 3 chu kỳ, nên tổng này chia hết cho 7.

Từ đó suy ra \( A \) chia hết cho cả 3 và 7, do đó \( A \) chia hết cho 21.

### Kết luận
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( A \) chia hết cho 6 và \( A \) chia hết cho 21 như yêu cầu.