Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này theo cách đơn giản và phù hợp với chương trình toán lớp 7, chúng ta sẽ phân tích và tính tổng của các phân số.

Bài toán:
\[ T = \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k \cdot (101 - k)} \]

Bước phân tích tổng:

Chúng ta nhận thấy rằng:
\[ \frac{1}{k \cdot (101 - k)} = \frac{1}{101} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{101 - k} \right) \]

Giải thích:
- Phân tích tử số \(1\) thành \(101\):
\[ \frac{1}{k \cdot (101 - k)} = \frac{1}{101} \cdot \frac{101}{k \cdot (101 - k)} \]
- Phân tích thêm:
\[ \frac{101}{k \cdot (101 - k)} = \frac{101}{k} \cdot \frac{1}{101 - k} \]

Do đó, tổng cần tính sẽ là:
\[ T = \frac{1}{101} \sum_{k=1}^{100} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{101 - k} \right) \]

Tính tổng:
\[ \sum_{k=1}^{100} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{101 - k} \right) \]

Chúng ta thấy rằng các cặp số \(k\) và \(101 - k\) sẽ lặp lại hai lần:
\[ \sum_{k=1}^{100} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{101 - k} \right) = \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{101 - k} \]

Vì \(\frac{1}{101 - k}\) cũng chính là \(\frac{1}{k}\) khi chúng ta xét hết các giá trị của \(k\):
\[ \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{101 - k} = \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} \]

Do đó, tổng của chúng ta là:
\[ 2 \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} \]

Cuối cùng:
\[ T = \frac{2}{101} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} \]

Tổng hàm điều hòa:
\[ \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} \]

Giá trị tổng của các số hàm điều hòa \(\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}\) là một giá trị đã biết, xấp xỉ \( 5.187 \).

Kết quả cuối cùng:
\[ T = \frac{2}{101} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} = \frac{2}{101} \cdot 5.187 \approx \frac{10.374}{101} \approx 0.1027 \]

Vậy, tổng của dãy số đã cho là xấp xỉ \(0.1027\).

...Xem thêm

Answer 2