Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp giả sử số lượng học sinh của mỗi lớp và sau đó tìm ra sự kết hợp thỏa mãn điều kiện đã cho.

Gọi:
- \( x \) là số lượng học sinh lớp 3,
- \( y \) là số lượng học sinh lớp 4, và
- \( z \) là số lượng học sinh lớp 5.

Theo điều kiện đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. \( \frac{x}{5} = \frac{2y}{5} \) (vì mỗi 5 học sinh lớp 3 thì có 2 học sinh lớp 4)
2. \( \frac{y}{3} = \frac{5z}{3} \) (vì mỗi 3 học sinh lớp 4 thì có 5 học sinh lớp 5)
3. \( x + y + z = 62 \) (tổng số học sinh)

Giải hệ phương trình này để tìm ra giá trị của \( x \), \( y \), và \( z \).

Đầu tiên, ta giải phương trình thứ nhất để tìm mối liên hệ giữa \( x \) và \( y \):

\[ \frac{x}{5} = \frac{2y}{5} \]

\[ x = 2y \]

Sau đó, ta giải phương trình thứ hai để tìm mối liên hệ giữa \( y \) và \( z \):

\[ \frac{y}{3} = \frac{5z}{3} \]

\[ y = 5z \]

Thay \( x = 2y \) và \( y = 5z \) vào phương trình tổng số học sinh, ta có:

\[ x + y + z = 62 \]

\[ 2y + y + z = 62 \]

\[ 3y + z = 62 \]

Thay \( y = 5z \) vào phương trình trên, ta có:

\[ 3(5z) + z = 62 \]

\[ 15z + z = 62 \]

\[ 16z = 62 \]

\[ z = \frac{62}{16} \]

\[ z = 3.875 \]

Vì \( z \) phải là một số nguyên, nên ta chấp nhận kết quả \( z = 3 \).

Tiếp theo, ta tính lại giá trị của \( y \) và \( x \) sử dụng \( z = 3 \) đã tìm được:

\[ y = 5z = 5 \times 3 = 15 \]

\[ x = 2y = 2 \times 15 = 30 \]

Vậy, có \( 30 \) học sinh lớp 3, \( 15 \) học sinh lớp 4, và \( 3 \) học sinh lớp 5 trong đội toán.