Để tính tổng \( S = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 29 \cdot 30 \), ta cần nhận thấy rằng đây là một chuỗi tổng của các tích hai số liên tiếp.

Cách tiếp cận là khai triển mỗi tích và tìm quy luật để tính tổng.

1. Viết biểu thức tổng:
\[ S = \sum_{k=2}^{29} k(k+1) \]

2. Khai triển \( k(k+1) \):
\[ k(k+1) = k^2 + k \]

Do đó:
\[ S = \sum_{k=2}^{29} (k^2 + k) \]

3. Tách tổng:
\[ S = \sum_{k=2}^{29} k^2 + \sum_{k=2}^{29} k \]

Bây giờ, ta tính riêng từng tổng.

4. Tính tổng \( \sum_{k=2}^{29} k^2 \):

Sử dụng công thức tổng bình phương của các số nguyên:
\[ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Ở đây \( n = 29 \), nhưng ta cần tổng từ 2 đến 29:
\[ \sum_{k=2}^{29} k^2 = \sum_{k=1}^{29} k^2 - 1^2 \]
\[ \sum_{k=1}^{29} k^2 = \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6} \]
\[ = 8555 \]

Do đó:
\[ \sum_{k=2}^{29} k^2 = 8555 - 1 = 8554 \]

5. Tính tổng \( \sum_{k=2}^{29} k \):

Sử dụng công thức tổng của một dãy số nguyên:
\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \]

Ở đây \( n = 29 \), nhưng ta cần tổng từ 2 đến 29:
\[ \sum_{k=2}^{29} k = \sum_{k=1}^{29} k - 1 \]
\[ \sum_{k=1}^{29} k = \frac{29 \cdot 30}{2} \]
\[ = 435 \]

Do đó:
\[ \sum_{k=2}^{29} k = 435 - 1 = 434 \]

6. Kết hợp lại:

\[ S = \sum_{k=2}^{29} k^2 + \sum_{k=2}^{29} k \]
\[ = 8554 + 434 \]
\[ = 8988 \]

Vậy tổng \( S = 8988 \).

Để tính tổng S=2⋅3+3⋅4+…+29⋅30𝑆=2⋅3+3⋅4+…+29⋅30, ta cần nhận thấy rằng đây là một chuỗi tổng của các tích hai số liên tiếp.

Cách tiếp cận là khai triển mỗi tích và tìm quy luật để tính tổng.

1. Viết biểu thức tổng:
S=∑29k=2k(k+1)𝑆=∑𝑘=229𝑘(𝑘+1)

2. Khai triển k(k+1)𝑘(𝑘+1):
k(k+1)=k2+k𝑘(𝑘+1)=𝑘2+𝑘

Do đó:
S=∑29k=2(k2+k)𝑆=∑𝑘=229(𝑘2+𝑘)

3. Tách tổng:
S=∑29k=2k2+∑29k=2k𝑆=∑𝑘=229𝑘2+∑𝑘=229𝑘

Bây giờ, ta tính riêng từng tổng.

4. Tính tổng ∑29k=2k2∑𝑘=229𝑘2:

Sử dụng công thức tổng bình phương của các số nguyên:
∑nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6∑𝑘=1𝑛𝑘2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6

Ở đây n=29𝑛=29, nhưng ta cần tổng từ 2 đến 29:
∑29k=2k2=∑29k=1k2−12∑𝑘=229𝑘2=∑𝑘=129𝑘2−12
∑29k=1k2=29⋅30⋅596∑𝑘=129𝑘2=29⋅30⋅596
=8555=8555

Do đó:
∑29k=2k2=8555−1=8554∑𝑘=229𝑘2=8555−1=8554

5. Tính tổng ∑29k=2k∑𝑘=229𝑘:

Sử dụng công thức tổng của một dãy số nguyên:
∑nk=1k=n(n+1)2∑𝑘=1𝑛𝑘=𝑛(𝑛+1)2

Ở đây n=29𝑛=29, nhưng ta cần tổng từ 2 đến 29:
∑29k=2k=∑29k=1k−1∑𝑘=229𝑘=∑𝑘=129𝑘−1
∑29k=1k=29⋅302∑𝑘=129𝑘=29⋅302
=435=435

Do đó:
∑29k=2k=435−1=434∑𝑘=229𝑘=435−1=434

6. Kết hợp lại:

S=∑29k=2k2+∑29k=2k𝑆=∑𝑘=229𝑘2+∑𝑘=229𝑘
=8554+434=8554+434
=8988=8988

Vậy tổng S=8988𝑆=8988.