Giả sử số sách ban đầu trong ngăn thứ hai là \( y \) quyển. Số sách trong ngăn thứ nhất là \( \frac{2}{3}y \) quyển.

Sau khi An lấy ra 6 quyển sách ở ngăn thứ nhất, số sách còn lại ở ngăn thứ nhất là \( \frac{2}{3}y - 6 \) quyển.

Theo bài toán, số sách còn lại ở ngăn thứ nhất bằng \( \frac{5}{9} \) số sách ở ngăn thứ hai. Do đó, ta có phương trình:

\[
\frac{2}{3}y - 6 = \frac{5}{9}y
\]

Để giải phương trình này, trước tiên, ta quy đồng hai vế của phương trình để có mẫu số chung. Ta nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ mẫu số:

\[
9 \left( \frac{2}{3}y - 6 \right) = 9 \left( \frac{5}{9}y \right)
\]

\[
3 \times 2y - 54 = 5y
\]

\[
6y - 54 = 5y
\]

Chuyển \( 5y \) sang vế trái của phương trình:

\[
6y - 5y = 54
\]

\[
y = 54
\]

Vậy số sách ban đầu trong ngăn thứ hai là 54 quyển. Số sách trong ngăn thứ nhất là:

\[
\frac{2}{3} \times 54 = 36
\]

Ta kiểm tra lại điều kiện của bài toán:
- Ban đầu ngăn thứ nhất có 36 quyển, ngăn thứ hai có 54 quyển.
- Sau khi lấy ra 6 quyển, ngăn thứ nhất còn \( 36 - 6 = 30 \) quyển.
- Số sách còn lại trong ngăn thứ nhất là \( 30 \), bằng \( \frac{5}{9} \) số sách trong ngăn thứ hai, tức là:

\[
\frac{5}{9} \times 54 = 30
\]

Điều kiện này đúng. Vậy số sách ban đầu trong mỗi ngăn là:
- Ngăn thứ nhất: 36 quyển
- Ngăn thứ hai: 54 quyển