Quảng cáo
2 câu trả lời 2165
Để chứng minh rằng \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}\) không phải là một số tự nhiên, ta sẽ tính giá trị của tổng này và chứng minh rằng nó không là một số tự nhiên.
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng các số hạng trong dãy này là dương, nên tổng của chúng không thể là một số âm.
Giờ, hãy tính giá trị của tổng này:
\[S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}\]
Khi ta nhóm các số hạng theo cặp, ta có:
\[S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}\right) + \frac{1}{2025}\]
\[S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}\]
Khi rút gọn, ta được:
\[S = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2024} - \frac{1}{2024}\right) + \frac{1}{2025}\]
\[S = 0 + 0 + \ldots + 0 + \frac{1}{2025} = \frac{1}{2025}\]
Vậy ta thấy rằng tổng của dãy này không phải là một số tự nhiên, mà là một phân số dương nhỏ hơn 1.
$S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}$
$S = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \right) + \frac{1}{2025}$
$-$ Nhận thấy rằng mỗi cặp số hạng dạng $\left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right)$ đều là một số dương vì $\frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n}$.
$-$ Tuy nhiên, khi n tiến đến vô cùng, giá trị của cặp số hạng này tiến đến 0.
$-$ Thêm vào đó, số hạng cuối cùng là $\frac{1}{2025}$ là một số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1.
=> Vì vậy, tổng của chuỗi là tổng của các số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1 và không thể là một số tự nhiên vì số tự nhiên là các số nguyên dương không bao gồm phân số hay số thập phân.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 170023 -
78717
-
35452
-
32348



