Biểu thức \( B = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{2023 \times 2025} \) là tổng của một dãy các phân số.

Ta thấy mẫu số của các phân số là dãy các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 3 và kết thúc ở \( 2023 \times 2025 \).

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về chuỗi số và một số phép biến đổi.

Ta nhận thấy rằng mẫu số của các phân số trong dãy này là tích của hai số lẻ liên tiếp:

\[ 3 \times 5, \, 5 \times 7, \, 7 \times 9, \, \ldots, \, (2n+1) \times (2n+3), \, \ldots \]

Ta có thể viết lại mẫu số của các phân số này dưới dạng tổng:

\[ 3 \times 5 = (1 \times 2) - (1 \times 1) \]
\[ 5 \times 7 = (2 \times 3) - (1 \times 1) \]
\[ 7 \times 9 = (3 \times 4) - (1 \times 1) \]
\[ \ldots \]
\[ (2n+1) \times (2n+3) = ((n+1) \times (n+2)) - (n \times (n+1)) \]

Ta thấy rằng mẫu số của các phân số này có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số tự nhiên liên tiếp, mà ta có thể sử dụng để tính tổng.

Đặt \( S \) là tổng của dãy số cần tính. Ta có:

\[ S = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{2023 \times 2025} \]
\[ = \left( \frac{2}{2} - \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{4}{4} - \frac{1}{1} \right) + \ldots + \left( \frac{n+2}{n+2} - \frac{n}{n} \right) \]

Các thành phần trong ngoặc tròn có thể rút gọn thành \( 1 \) nên ta có:

\[ S = (2 - 1) + (3 - 1) + (4 - 1) + \ldots + ((n+2) - n) \]
\[ = 2 + 2 + 2 + \ldots + 2 = 2n \]

Vậy, \( S = 2n \).

Với \( n = 1012 \) (bởi vì \( 2023 \times 2025 \) là số lẻ và n là số tự nhiên), ta có:

\[ B = 2 \times 1012 = 2024 \]

Biểu thức B=13+115+135+163+…+12023×2025𝐵=13+115+135+163+…+12023×2025 là tổng của một dãy các phân số.

Ta thấy mẫu số của các phân số là dãy các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 3 và kết thúc ở 2023×20252023×2025.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về chuỗi số và một số phép biến đổi.

Ta nhận thấy rằng mẫu số của các phân số trong dãy này là tích của hai số lẻ liên tiếp:

3×5,5×7,7×9,…,(2n+1)×(2n+3),…3×5,5×7,7×9,…,(2𝑛+1)×(2𝑛+3),…

Ta có thể viết lại mẫu số của các phân số này dưới dạng tổng:

3×5=(1×2)−(1×1)3×5=(1×2)−(1×1)
5×7=(2×3)−(1×1)5×7=(2×3)−(1×1)
7×9=(3×4)−(1×1)7×9=(3×4)−(1×1)
……
(2n+1)×(2n+3)=((n+1)×(n+2))−(n×(n+1))(2𝑛+1)×(2𝑛+3)=((𝑛+1)×(𝑛+2))−(𝑛×(𝑛+1))

Ta thấy rằng mẫu số của các phân số này có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số tự nhiên liên tiếp, mà ta có thể sử dụng để tính tổng.

Đặt S𝑆 là tổng của dãy số cần tính. Ta có:

S=13+115+135+163+…+12023×2025𝑆=13+115+135+163+…+12023×2025
=(22−11)+(33−11)+(44−11)+…+(n+2n+2−nn)=(22−11)+(33−11)+(44−11)+…+(𝑛+2𝑛+2−𝑛𝑛)

Các thành phần trong ngoặc tròn có thể rút gọn thành 11 nên ta có:

S=(2−1)+(3−1)+(4−1)+…+((n+2)−n)𝑆=(2−1)+(3−1)+(4−1)+…+((𝑛+2)−𝑛)
=2+2+2+…+2=2n=2+2+2+…+2=2𝑛

Vậy, S=2n𝑆=2𝑛.

Với n=1012𝑛=1012 (bởi vì 2023×20252023×2025 là số lẻ và n là số tự nhiên), ta có:

B=2×1012=2024