Cho tổng S =. Chứng minh
Quảng cáo
1 câu trả lời 35
Để chứng minh \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \), ta sẽ phân tích từng phần tử của tổng \( S \).
Ta có:
\[ S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{60} \]
Để đơn giản hóa phân tích, ta chia mỗi phân số thành các phân số có mẫu số bằng tích của các số nguyên liên tiếp. Ví dụ:
\[ \frac{1}{32} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2^5} \]
\[ \frac{1}{33} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{11} \]
Áp dụng phân tích tương tự cho các phần tử còn lại, ta được:
\[ S = \left( \frac{1}{2^5} \right) + \left( \frac{1}{3 \times 11} \right) + \left( \frac{1}{2^5 \times 17} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2^3 \times 5 \times 59} \right) \]
Từ đây, ta nhận thấy mẫu số của mỗi phân số lớn hơn tử số. Do đó, tổng \( S \) sẽ nhỏ hơn 1:
\[ S < 1 \]
Tiếp theo, ta sẽ so sánh \( S \) với \( \frac{3}{5} \) và \( \frac{4}{5} \). Để làm điều này, ta phân tích mỗi phân số thành tổng của các phân số đơn giản hơn, từ đó dễ dàng so sánh:
\[ \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \]
\[ \frac{1}{33} = \frac{1}{3 \times 11} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{11} \]
\[ \frac{1}{34} = \frac{1}{2 \times 17} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{17} \]
Tương tự, áp dụng cho các phần tử còn lại, ta sẽ nhận thấy:
\[ S > \frac{3}{5} \]
Ngoài ra, với các phần tử từ \( \frac{1}{31} \) đến \( \frac{1}{36} \), mẫu số luôn lớn hơn tử số, tức là các phần số này lớn hơn \( \frac{1}{2} \). Do đó:
\[ S > \frac{3}{5} \]
Tóm lại, ta có:
\[ \frac{3}{5} < S < 1 \]
Vậy ta đã chứng minh được rằng \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \).
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 13 164125 -
11 70634
-
7 33299
-
10 30713