Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính tổng \(Q = \frac{3}{2} \times 5 + \frac{3}{5} \times 8 + \frac{3}{8} \times 11 + \ldots + \frac{3}{97} \times 100\), chúng ta cần tính tổng của các thành phần của dãy này.

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng mỗi thành phần của dãy có dạng \(\frac{3}{n} \times (n + 3)\), với \(n\) chạy từ 2 đến 97.

Vậy, ta có thể viết lại công thức của \(Q\) dưới dạng tổng:

\[Q = \sum_{n=2}^{97} \frac{3}{n} \times (n + 3)\]

Bây giờ, để tính tổng này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính giá trị mỗi thành phần của dãy.
2. Cộng tổng các thành phần lại với nhau.

Hãy thực hiện bước 1:

\[\frac{3}{2} \times (2 + 3) = 3 \times 5 = 15\]
\[\frac{3}{5} \times (5 + 3) = 3 \times 8 = 24\]
\[\frac{3}{8} \times (8 + 3) = 3 \times 11 = 33\]
...

Bây giờ, chúng ta có thể tính tổng bằng cách cộng các giá trị này lại với nhau. Đặt \(S\) là tổng của các thành phần:

\[S = 15 + 24 + 33 + \ldots\]

Ta thấy mỗi thành phần tiếp theo tăng lên \(9\) đơn vị so với thành phần trước đó. Vậy, chúng ta có thể viết tổng này dưới dạng tổng của dãy số học hình công cộng.

Để tính tổng dãy số học, ta sử dụng công thức tổng của dãy số học hình công cộng:

\[S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)\]

Trong đó:
- \(n\) là số lượng các thành phần trong dãy (trong trường hợp này, \(n = 96\)),
- \(a_1\) là giá trị của thành phần đầu tiên trong dãy (trong trường hợp này, \(a_1 = 15\)),
- \(a_n\) là giá trị của thành phần cuối cùng trong dãy (trong trường hợp này, \(a_n = 15 + 9 \times 95 = 900\)).

Thay các giá trị vào công thức:

\[S = \frac{96}{2} \times (15 + 900) = 48 \times 915 = 43920\]

Vậy, tổng của dãy là \(43920\).

...Xem thêm

Answer 2