Quảng cáo
5 câu trả lời 406
Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{n}{n^2 - 1} \) không phải là số tự nhiên với mọi \( n \in \mathbb{N} \) và \( n > 2 \).
Để chứng minh điều này, trước hết ta có thể biểu diễn mỗi phần tử trong dãy dưới dạng phân số đơn giản hơn:
\[ \frac{3}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \]
\[ \frac{8}{9} = \frac{1}{1} - \frac{1}{9} \]
\[ \frac{15}{16} = \frac{1}{1} - \frac{1}{16} \]
...
\[ \frac{n}{n^2 - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \]
Ta thấy mỗi phần tử trong dãy có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai số tự nhiên liên tiếp. Nếu ta cộng tất cả các phần tử trong dãy, các số tự nhiên liên tiếp sẽ bị loại bỏ và chỉ còn lại hai số tự nhiên đầu tiên và cuối cùng:
\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{1}{n - 1}\right) + \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) \]
\[ S = n - 2 + 1 - \frac{1}{n} - 1 + \frac{1}{n + 1} = n - \frac{1}{n + 1} \]
Ta thấy rằng \( S \) không bao giờ là số tự nhiên với mọi \( n \in \mathbb{N} \) và \( n > 2 \).
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 172067 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
80043 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
64539 -
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
40826 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
36663 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
33422




