Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh \( A < \frac{3443}{1}, \) ta sẽ thực hiện phép cắt giảm trên dãy tổng A.

Ta có thể phân tích dãy này thành các đoạn nhỏ có dạng \( 11 + 3 + 5 + \ldots + 20171 \), mỗi đoạn này có tổng bằng \( \frac{n(n+1)}{2} \), với n là số lẻ lớn hơn 10 (được tạo bởi dãy số lẻ từ 11 đến 20171).

Nếu kết hợp tất cả các đoạn này, ta có tổng A như sau:

\[ A = \frac{11 \cdot 12}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{5 \cdot 6}{2} + \ldots + \frac{20171 \cdot 20172}{2} \]

\[ = \frac{12^2 - 1^2}{2} + \frac{4^2 - 1^2}{2} + \frac{6^2 - 1^2}{2} + \ldots + \frac{20172^2 - 1^2}{2} \]

\[ = \frac{(12+1)(12-1)}{2} + \frac{(4+1)(4-1)}{2} + \frac{(6+1)(6-1)}{2} + \ldots + \frac{(20172+1)(20172-1)}{2} \]

\[ = \frac{12+1}{2} + \frac{4+1}{2} + \frac{6+1}{2} + \ldots + \frac{20172+1}{2} \]

\[ = \frac{13}{2} + \frac{5}{2} + \frac{7}{2} + \ldots + \frac{20173}{2} \]

\[ = \frac{1}{2}(13 + 5 + 7 + \ldots + 20173) \]

Đây là tổng của dãy số lẻ từ 13 đến 20173, và số phần tử trong dãy này là một nửa số phần tử của dãy số tự nhiên từ 1 đến 20173.

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{20173 + 13}{2} \cdot \frac{20173 - 13}{2} \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{20186 \cdot 20160}{4} \]

\[ = \frac{20186 \cdot 20160}{8} \]

\[ = \frac{407790336}{8} \]

\[ = 50973792 \]

Vậy ta thấy rằng \( A < 50973792 \), và \( 50973792 < \frac{3443}{1} \), do đó ta kết luận được rằng \( A < \frac{3443}{1} \).

...Xem thêm

Answer 2