Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm bán kính của hình tròn bên trong hình vuông.

Vì hình tròn nằm trong hình vuông, nên đường chéo của hình vuông chính là đường kính của hình tròn.

Diện tích hình vuông là $30 \, \text{cm}^2$, nên ta có:

$\text{Diện tích hình vuông} = \text{cạnh}^2 = 30 \, \text{cm}^2$

Do đó, cạnh của hình vuông là:

$\text{cạnh} = \sqrt{30} \, \text{cm}$

Và bán kính của hình tròn là nửa đường chéo của hình vuông:

$\text{Bán kính hình tròn} = \frac{\text{cạnh}}{2} = \frac{\sqrt{30}}{2} \, \text{cm}$

Bây giờ, chúng ta có thể tính diện tích của hình tròn và diện tích của phần nằm trong hình vuông nhưng nằm ngoài hình tròn.

1. Diện tích hình tròn:
$S_{\text{hình tròn}} = \pi r^2$
$S_{\text{hình tròn}} = \pi \left(\frac{\sqrt{30}}{2}\right)^2 = \frac{30\pi}{4} = \frac{15\pi}{2} \, \text{cm}^2$

2. Diện tích phần nằm trong hình vuông nhưng nằm ngoài hình tròn:
$S_{\text{ngoài tròn}} = S_{\text{hình vuông}} - S_{\text{hình tròn}} = 30 - \frac{15\pi}{2} \, \text{cm}^2$

Vậy diện tích phần nằm trong hình vuông nhưng nằm ngoài hình tròn là $30 - \frac{15\pi}{2} \, \text{cm}^2$, và diện tích của hình tròn là $\frac{15\pi}{2} \, \text{cm}^2$.