Quảng cáo
1 câu trả lời 58
Để chứng minh rằng \( \frac{1}{4} < A < \frac{1}{3} \), ta có thể so sánh \( A \) với hai giới hạn này một cách cẩn thận.
Trước hết, hãy tính giá trị của \( A \):
\[ A = \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} \]
\( \frac{1}{4^2} \) là \( \frac{1}{16} \)
\( \frac{1}{5^2} \) là \( \frac{1}{25} \)
\( \frac{1}{6^2} \) là \( \frac{1}{36} \)
...
\( \frac{1}{100^2} \) là \( \frac{1}{10000} \)
\[ A = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \ldots + \frac{1}{10000} \]
Để đơn giản hóa quá trình so sánh, hãy chia \( A \) thành hai phần: phần tử đầu tiên và phần tử còn lại.
\[ A = \frac{1}{16} + \left( \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \ldots + \frac{1}{10000} \right) \]
Vì các số mẫu của phần tử còn lại đều lớn hơn 25, ta có thể ước lượng nó như sau:
\[ \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \ldots + \frac{1}{10000} < \frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{25} = \frac{1}{25} \times 396 = \frac{396}{25} \]
Vậy:
\[ A < \frac{1}{16} + \frac{396}{25} \]
Bây giờ, hãy so sánh \( A \) với \( \frac{1}{3} \):
\[ \frac{1}{3} = \frac{25}{75} = \frac{1}{25} \times 3 < \frac{1}{25} \times 4 = \frac{4}{25} \]
Vậy:
\[ A > \frac{1}{16} + \frac{4}{25} \]
Nếu chúng ta cân nhắc tổng của \( A \) giữa các giới hạn này, chúng ta sẽ thấy:
\[ \frac{1}{16} + \frac{4}{25} < A < \frac{1}{16} + \frac{396}{25} \]
\[ \frac{1}{16} + \frac{4}{25} = \frac{25}{400} + \frac{64}{400} = \frac{89}{400} \]
\[ \frac{1}{16} + \frac{396}{25} = \frac{25}{400} + \frac{1584}{400} = \frac{1609}{400} \]
Vậy:
\[ \frac{89}{400} < A < \frac{1609}{400} \]
Giải quyết phép tính, chúng ta có:
\[ \frac{89}{400} = 0.2225 \]
\[ \frac{1609}{400} = 4.0225 \]
\[ 0.2225 < A < 4.0225 \]
Do đó, \( A \) nằm giữa \( \frac{1}{4} \) và \( \frac{1}{3} \), như yêu cầu.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 13 164125 -
11 70634
-
7 33299
-
10 30713