Chứng minh a + b + c + d là hợp số với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a.b = c.d
Giả thiết:

a, b, c, d là các số nguyên dương
a.b = c.d
Chứng minh:

Cách 1: Sử dụng tính chất chia hết

Từ a.b = c.d, ta suy ra:

a chia hết cho c hoặc c chia hết cho a (1)
b chia hết cho d hoặc d chia hết cho b (2)
Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a chia hết cho c

Khi đó, ta có thể viết a = kc với k là số nguyên dương.
Thay vào phương trình a.b = c.d, ta được: kc.b = c.d
Chia hai vế cho c, ta được: kb = d
Do k và b là các số nguyên dương, suy ra d chia hết cho k.
Trường hợp 2: c chia hết cho a

Tương tự như trường hợp 1, ta có thể chứng minh d chia hết cho b.

Từ hai trường hợp trên, ta suy ra:

d chia hết cho cả a và b
Mà a và b là hai số nguyên dương khác nhau (vì a.b = c.d và a, b, c, d là các số nguyên dương)
Vậy d có ít nhất 3 ước số là 1, a và b.
Kết luận:

Do d có ít nhất 3 ước số nên d là hợp số.

Suy ra: a + b + c + d = a + b + d + c là hợp số.

Cách 2: Sử dụng phản chứng

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố.

Khi đó, a + b + c + d chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

Gọi p là số nguyên tố bất kỳ nhỏ hơn a + b + c + d.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: p chia hết cho a

Khi đó, ta có thể viết p = ak với k là số nguyên dương.
Từ a + b + c + d là số nguyên tố, suy ra b + c + d không chia hết cho p.
Tuy nhiên, theo tính chất chia hết, ta có:b chia hết cho p hoặc p chia hết cho b
c chia hết cho p hoặc p chia hết cho c
d chia hết cho p hoặc p chia hết cho d
Do p là số nguyên tố và b, c, d là các số nguyên dương nên ta chỉ có thể xét 2 trường hợp sau:b chia hết cho p và c + d không chia hết cho p
c chia hết cho p và b + d không chia hết cho p
Tuy nhiên, cả hai trường hợp này đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết b + c + d không chia hết cho p.
Trường hợp 2: p không chia hết cho a

Tương tự như trường hợp 1, ta có thể chứng minh p không chia hết cho b, c, d.

Vậy, cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố nhỏ hơn a + b + c + d.

Kết luận:

Giả thiết a + b + c + d là số nguyên tố là sai.

Vậy, a + b + c + d là hợp số.

Lưu ý:

Ngoài hai cách chứng minh trên, còn có thể sử dụng các phương pháp khác như phương pháp đồng dư, phương pháp chia hết theo số dư, v.v. để chứng minh a + b + c + d là hợp số.

Chứng minh a + b + c + d là hợp số với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a.b = c.d
Giả thiết:

a, b, c, d là các số nguyên dương
a.b = c.d
Chứng minh:

Cách 1: Sử dụng tính chất chia hết

Từ a.b = c.d, ta suy ra:

a chia hết cho c hoặc c chia hết cho a (1)
b chia hết cho d hoặc d chia hết cho b (2)
Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a chia hết cho c

Khi đó, ta có thể viết a = kc với k là số nguyên dương.
Thay vào phương trình a.b = c.d, ta được: kc.b = c.d
Chia hai vế cho c, ta được: kb = d
Do k và b là các số nguyên dương, suy ra d chia hết cho k.
Trường hợp 2: c chia hết cho a

Tương tự như trường hợp 1, ta có thể chứng minh d chia hết cho b.

Từ hai trường hợp trên, ta suy ra:

d chia hết cho cả a và b
Mà a và b là hai số nguyên dương khác nhau (vì a.b = c.d và a, b, c, d là các số nguyên dương)
Vậy d có ít nhất 3 ước số là 1, a và b.
Kết luận:

Do d có ít nhất 3 ước số nên d là hợp số.

Suy ra: a + b + c + d = a + b + d + c là hợp số.

Cách 2: Sử dụng phản chứng

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố.

Khi đó, a + b + c + d chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

Gọi p là số nguyên tố bất kỳ nhỏ hơn a + b + c + d.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: p chia hết cho a

Khi đó, ta có thể viết p = ak với k là số nguyên dương.
Từ a + b + c + d là số nguyên tố, suy ra b + c + d không chia hết cho p.
Tuy nhiên, theo tính chất chia hết, ta có:b chia hết cho p hoặc p chia hết cho b
c chia hết cho p hoặc p chia hết cho c
d chia hết cho p hoặc p chia hết cho d
Do p là số nguyên tố và b, c, d là các số nguyên dương nên ta chỉ có thể xét 2 trường hợp sau:b chia hết cho p và c + d không chia hết cho p
c chia hết cho p và b + d không chia hết cho p
Tuy nhiên, cả hai trường hợp này đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết b + c + d không chia hết cho p.
Trường hợp 2: p không chia hết cho a

Tương tự như trường hợp 1, ta có thể chứng minh p không chia hết cho b, c, d.

Vậy, cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố nhỏ hơn a + b + c + d.

Kết luận:

Giả thiết a + b + c + d là số nguyên tố là sai.

Vậy, a + b + c + d là hợp số.

Lưu ý:

Ngoài hai cách chứng minh trên, còn có thể sử dụng các phương pháp khác như phương pháp đồng dư, phương pháp chia hết theo số dư, v.v. để chứng minh a + b + c + d là hợp số.
 Cảm ơn  0 bình luận