Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng tổng

A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2024}

chia hết cho 3, ta sẽ sử dụng định lí của cấp số nhân.

Trước hết, ta phân tích $A$ thành dạng tổng cấp số nhân:

$A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{2024} = 2 (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2023})$

Bây giờ, ta quan sát biểu thức trong ngoặc đơn:

1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2023}

Đây là tổng của một cấp số nhân với

a = 1

(phần tử đầu tiên),

r = 2

(hệ số nhân) và

n = 2023

(số lượng phần tử), do đó tổng này có thể tính được bằng công thức:

S = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{1 (1 - 2^{2023})}{1 - 2} = 2^{2023} - 1

Như vậy, ta có:

A = 2 (2^{2023} - 1)

Để chứng minh

A

chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho 3. Ta biểu diễn S dưới dạng 2^2023=3k+1 , với k là một số nguyên.

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên k sao cho 2^2023=3k+1

Giả sử 2^2023 không chia hết cho 3. Khi đó, theo định lý chia dư Euclid, tồn tại một số nguyên r sao cho 2^2023=3r+1

Vậy ta thấy S chia hết cho 3, nên

A

cũng chia hết cho 3.

...Xem thêm

Answer 2