Để giải quyết các yêu cầu của bạn:

1/ Để khảo sát đồ thị của đa thức \(y = x^2 - 8x + 7\), chúng ta cần tìm đạo hàm của nó để xác định đỉnh, đồng biên, và hướng mở rộng của parabol.

\(y = x^2 - 8x + 7\)

Đạo hàm của y theo x là:
\(y' = 2x - 8\)

Để tìm đỉnh của parabol, ta giải phương trình \(y' = 0\) để xác định giá trị x, sau đó thay x vào phương trình ban đầu để tìm giá trị y tương ứng.

\(2x - 8 = 0\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)

Khi \(x = 4\), ta tính y tương ứng:
\(y = 4^2 - 8 \times 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9\)

Điểm đỉnh của parabol là (4, -9). Đồ thị sẽ mở lên vì hệ số của \(x^2\) là dương.

2/ Để tìm đa thức \(P^*\) thông qua đỉnh của \(P\) và qua điểm A (2,6) và điểm B (4,0), chúng ta có thể sử dụng công thức đường cong qua ba điểm:

\(P^*(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

Với \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của \(P^*\) cần tìm và \(x\) là biến số.

Đã biết đỉnh của \(P\) là (4, -9). Vì đỉnh của \(P\) cũng là giao điểm của \(P\) với trục đối xứng của nó, nên \(x_1\) và \(x_2\) sẽ là các giá trị đối xứng qua đỉnh, nghĩa là \(x_1 = 4 + (4 - 2) = 6\) và \(x_2 = 4 - (4 - 2) = 2\).

Để tìm \(a\) trong \(P^*\), thay vào \(x\) và \(y\) là các giá trị tương ứng của điểm A (2,6) hoặc B (4,0) vào \(P^*(x)\) và giải phương trình tương ứng. Sau đó, ta có thể tính được \(P^*(x)\).