Để hai đường thẳng $(d)$ và $(d_1)$ cắt nhau tại một điểm bên trái trục tung, chúng ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho hệ phương trình của hai đường thẳng có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó có hoành độ $x$ nhỏ hơn hoành độ của điểm giao của hai đường thẳng trên trục tung.

Đầu tiên, hệ thức của đường thẳng $(d)$ là $y = (m^2 + 2m - 1)x + 3m + 1$, và của $(d_1)$ là $y = -x + 1$.

Để tìm điểm giao của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:

$\begin{cases} y = (m^2 + 2m - 1)x + 3m + 1 \\ y = -x + 1 \end{cases}$

Bằng cách giải hệ phương trình trên, ta sẽ tìm được giá trị của $x$ và $y$ tại điểm giao của hai đường thẳng. Sau đó, kiểm tra xem điểm giao có hoành độ $x$ nhỏ hơn 0 không để đảm bảo nó nằm bên trái trục tung.

Thay $y = -x + 1$ vào đường thẳng $(d)$:

$(m^2 + 2m - 1)x + 3m + 1 = -x + 1$

Tiến hành giải phương trình trên để tìm giá trị của $x$. Đầu tiên, ta đưa các thành phần chứa $x$ về cùng một bên:

$(m^2 + 2m - 1)x + x = -3m$
$(m^2 + 2m - 1 + 1)x = -3m$
$(m^2 + 2m)x = -3m$
$x = \frac{-3m}{m^2 + 2m}$

Để điểm giao nằm bên trái trục tung, $x$ phải là số âm. Ta cần xác định điều kiện để điều này xảy ra.

$x$ là số âm khi và chỉ khi tử số và mẫu số của $x$ cùng dấu và $|x| > 0$.

$m^2 + 2m$ và $-3m$ cùng dấu khi $m^2 + 2m > 0$ (do $m^2 + 2m$ luôn dương với mọi $m$) và $m$ là số âm.

Ta giải phương trình bất đẳng thức $m^2 + 2m > 0$:

$m(m + 2) > 0$

Khi giải bất đẳng thức này, ta được $m < -2$ hoặc $m > 0$.

Vậy, để đường thẳng $(d)$ và $(d_1)$ cắt nhau tại một điểm bên trái trục tung, $m$ phải nằm trong khoảng $m < -2$.

Để hai đường thẳng (d)(�) và (d1)(�1) cắt nhau tại một điểm bên trái trục tung, chúng ta cần tìm giá trị của m� sao cho hệ phương trình của hai đường thẳng có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó có hoành độ x� nhỏ hơn hoành độ của điểm giao của hai đường thẳng trên trục tung.

Đầu tiên, hệ thức của đường thẳng (d)(�) là y=(m2+2m−1)x+3m+1�=(�2+2�−1)�+3�+1, và của (d1)(�1) là y=−x+1�=−�+1.

Để tìm điểm giao của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:

{y=(m2+2m−1)x+3m+1y=−x+1{�=(�2+2�−1)�+3�+1�=−�+1

Bằng cách giải hệ phương trình trên, ta sẽ tìm được giá trị của x� và y� tại điểm giao của hai đường thẳng. Sau đó, kiểm tra xem điểm giao có hoành độ x� nhỏ hơn 0 không để đảm bảo nó nằm bên trái trục tung.

Thay y=−x+1�=−�+1 vào đường thẳng (d)(�):

(m2+2m−1)x+3m+1=−x+1(�2+2�−1)�+3�+1=−�+1

Tiến hành giải phương trình trên để tìm giá trị của x�. Đầu tiên, ta đưa các thành phần chứa x� về cùng một bên:

(m2+2m−1)x+x=−3m(�2+2�−1)�+�=−3�
(m2+2m−1+1)x=−3m(�2+2�−1+1)�=−3�
(m2+2m)x=−3m(�2+2�)�=−3�
x=−3mm2+2m�=−3��2+2�

Để điểm giao nằm bên trái trục tung, x� phải là số âm. Ta cần xác định điều kiện để điều này xảy ra.

x� là số âm khi và chỉ khi tử số và mẫu số của x� cùng dấu và |x|>0|�|>0.

m2+2m�2+2� và −3m−3� cùng dấu khi m2+2m>0�2+2�>0 (do m2+2m�2+2� luôn dương với mọi m�) và m� là số âm.

Ta giải phương trình bất đẳng thức m2+2m>0�2+2�>0:

m(m+2)>0�(�+2)>0

Khi giải bất đẳng thức này, ta được m<−2�<−2 hoặc m>0�>0.

Vậy, để đường thẳng (d)(�) và (d1)(�1) cắt nhau tại một điểm bên trái trục tung, m� phải nằm trong khoảng m<−2�<−2.