Để hàm số \( y = |f(x)| \) đồng biến trên khoảng \((e; +∞)\), đồng nghĩa với việc \( f(x) \) không đổi dấu trên khoảng này.

Hàm số \( f(x) = \ln^3 x + 6(m-1) \ln^2 x - 3m^2 \ln x + 4 \).

Để hàm số không đổi dấu trên khoảng \((e; +∞)\), điều kiện cần là hệ số của \( \ln^3 x \) phải là số âm hoặc bằng 0 (để \( f(x) \) không thay đổi dấu trên khoảng này).

\( \ln^3 x \) sẽ thay đổi dấu tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, khoảng \((e; +∞)\) không chứa \( x = 1 \), do đó không ảnh hưởng đến đồng biến của \( f(x) \) trên khoảng này.

Hệ số của \( \ln^3 x \) là 1, không thể âm. Vì vậy, ta xét \( f(e) \) để kiểm tra dấu của hàm số tại điểm \( x = e \).

\( f(e) = \ln^3 e + 6(m-1) \ln^2 e - 3m^2 \ln e + 4 \).

\( f(e) = 1 + 6(m-1) \times 1 - 3m^2 \times 1 + 4 \).

\( f(e) = 7m - 3m^2 + 5 \).

Để \( f(e) \) không đổi dấu trên khoảng \((e; +∞)\), ta cần \( f(e) > 0 \).

\( 7m - 3m^2 + 5 > 0 \).

\( -3m^2 + 7m + 5 > 0 \).

\( m^2 - \frac{7}{3}m - \frac{5}{3} < 0 \).

\( (m - 3)(m + \frac{5}{3}) < 0 \).

Dấu của biểu thức trên thay đổi khi \( m = 3 \) hoặc \( m = -\frac{5}{3} \).

Tuy nhiên, vì \( f(e) > 0 \), nên \( m > -\frac{5}{3} \).

Vậy, \( a = -\frac{5}{3} \) và \( b = 3 \).

\( a + 3b = -\frac{5}{3} + 3 \times 3 = -\frac{5}{3} + 9 = \frac{22}{3} \).