Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( \frac{BM}{BP} - \frac{CM}{CN} \) không đổi khi \(M\) và \(d\) thay đổi, ta sẽ sử dụng định lí ceva trong tam giác cân \(ABC\) cùng với một số tính chất của tỉ lệ.

Đầu tiên, gọi \(X\) là giao điểm của \(BP\) và \(CM\). Ta có:
- Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AM\) là đối trung của \(BC\), nghĩa là \(AM\) là đối xứng của \(AX\) qua \(A\) (vì \(X\) là giao điểm của \(BP\) và \(CM\)).
- Do đó, \(XN = XM\) và \(XP = XM\), từ đó suy ra \(XN = XP\), tức là \(X\) nằm trên đường trung bình tương ứng \(NP\) của tam giác \(ABC\).

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác \(ABC\) cân, ta có:
\[ \frac{BM}{BP} \cdot \frac{CP}{CA} \cdot \frac{AN}{AM} = 1 \]

Vì \( \frac{AN}{AM} = \frac{CN}{CM} \) (do \(X\) nằm trên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)), nên:
\[ \frac{BM}{BP} \cdot \frac{CP}{CA} \cdot \frac{CN}{CM} = 1 \]

Từ đó, suy ra:
\[ \frac{BM}{BP} = \frac{CM}{CN} \cdot \frac{CA}{CP} \]

Nhưng \( \frac{CA}{CP} \) là một hằng số vì nó không phụ thuộc vào vị trí của \(M\) trên đường thẳng \(d\), mà chỉ phụ thuộc vào tam giác \(ABC\) cân. Do đó, \( \frac{BM}{BP} - \frac{CM}{CN} \) không đổi khi \(M\) và \(d\) thay đổi.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng \( \frac{BM}{BP} - \frac{CM}{CN} \) không đổi khi \(M\) và \(d\) thay đổi, ta sẽ sử dụng định lí ceva trong tam giác cân \(ABC\) cùng với một số tính chất của tỉ lệ.

Đầu tiên, gọi \(X\) là giao điểm của \(BP\) và \(CM\). Ta có:
- Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AM\) là đối trung của \(BC\), nghĩa là \(AM\) là đối xứng của \(AX\) qua \(A\) (vì \(X\) là giao điểm của \(BP\) và \(CM\)).
- Do đó, \(XN = XM\) và \(XP = XM\), từ đó suy ra \(XN = XP\), tức là \(X\) nằm trên đường trung bình tương ứng \(NP\) của tam giác \(ABC\).

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác \(ABC\) cân, ta có:
\[ \frac{BM}{BP} \cdot \frac{CP}{CA} \cdot \frac{AN}{AM} = 1 \]

Vì \( \frac{AN}{AM} = \frac{CN}{CM} \) (do \(X\) nằm trên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)), nên:
\[ \frac{BM}{BP} \cdot \frac{CP}{CA} \cdot \frac{CN}{CM} = 1 \]

Từ đó, suy ra:
\[ \frac{BM}{BP} = \frac{CM}{CN} \cdot \frac{CA}{CP} \]

Nhưng \( \frac{CA}{CP} \) là một hằng số vì nó không phụ thuộc vào vị trí của \(M\) trên đường thẳng \(d\), mà chỉ phụ thuộc vào tam giác \(ABC\) cân. Do đó, \( \frac{BM}{BP} - \frac{CM}{CN} \) không đổi khi \(M\) và \(d\) thay đổi.

1 câu trả lời 460

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9