Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M. Một đường thẳng d đi qua điểm M cắt CA và AB theo thứ tự tại N và P. Chứng minh rằng: BM\BP - CM\CN không đổi khi M và d thay đổi.
Quảng cáo
1 câu trả lời 312
Để chứng minh rằng BMBP−CMCN không đổi khi M và d thay đổi, ta sẽ sử dụng định lí ceva trong tam giác cân ABC cùng với một số tính chất của tỉ lệ.
Đầu tiên, gọi X là giao điểm của BP và CM. Ta có:
- Do tam giác ABC cân tại A, nên AM là đối trung của BC, nghĩa là AM là đối xứng của AX qua A (vì X là giao điểm của BP và CM).
- Do đó, XN=XM và XP=XM, từ đó suy ra XN=XP, tức là X nằm trên đường trung bình tương ứng NP của tam giác ABC.
Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ABC cân, ta có:
BMBP⋅CPCA⋅ANAM=1
Vì ANAM=CNCM (do X nằm trên NP là đường trung bình của tam giác ABC), nên:
BMBP⋅CPCA⋅CNCM=1
Từ đó, suy ra:
BMBP=CMCN⋅CACP
Nhưng CACP là một hằng số vì nó không phụ thuộc vào vị trí của M trên đường thẳng d, mà chỉ phụ thuộc vào tam giác ABC cân. Do đó, BMBP−CMCN không đổi khi M và d thay đổi.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
13430
-
12791
-
5895
-
5308
-
4293