Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh công thức trên, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

**Bước 1:** Kiểm tra với \( n = 1 \)

\[ A_1 = 1^2 = \frac{1 \times (1 + 1) \times (2 \times 1 + 1)}{6} = 1 \]

Công thức đúng cho \( n = 1 \).

**Bước 2:** Giả sử công thức đúng cho \( n = k \) (Giả thiết quy nạp)

\[ A_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \]

Chứng minh rằng công thức cũng đúng cho \( n = k + 1 \).

\[ A_{k+1} = 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 \]
\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \] (sử dụng giả thiết quy nạp)

Rút gọn biểu thức trên:
\[ A_{k+1} = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} \]

\[ = \frac{(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6} \]
\[ = \frac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} \]
\[ = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \]

Đây chính là biểu thức mà chúng ta muốn chứng minh cho \( n = k + 1 \).

Vì vậy, theo phương pháp quy nạp, ta có thể kết luận rằng công thức:

\[ A_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

đúng cho mọi giá trị nguyên dương của \( n \).

...Xem thêm

Answer 2