Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

biết mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( z = 1 \).

1. Đặt \( M(a; b; 1) \) (vì M thuộc mặt phẳng \( (P) \)).

2. Vì tam giác MAB vuông tại M, nên vector \( \vec{MA} \) vuông góc với vector \( \vec{MB} \). Khi đó, ta có:

\[ \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \]

\[ \vec{MA} = \left( a + 1; b - 2; -3 \right) \]
\[ \vec{MB} = \left( a + 1; b + 2; -1 \right) \]

\[ (a + 1)(a + 1) + (b - 2)(b + 2) + (-3)(-1) = 0 \]

\[ a^2 + 2a + 1 + b^2 - 2 + 3 = 0 \]

\[ a^2 + b^2 + 2a + 2 = 0 \] (1)

3. Để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất, ta cần khoảng cách từ M đến đoạn thẳng AB là nhỏ nhất. Đoạn thẳng AB là đường giao của mặt phẳng \( (P) \) và mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với \( (P) \). Phương trình mặt phẳng này có dạng \( z - k = 0 \). Đặt nó bằng 1 (vì \( z = 1 \) cho \( (P) \)), ta thu được \( k = 3 \). Do đó, phương trình mặt phẳng đó là \( z = 3 \).

4. Đoạn thẳng AB cắt \( z = 3 \) tại điểm N. Hãy tìm tọa độ của N:
Giữa A và B, \( z = 3 \) khi \( x = -1 \) và \( y = 0 \). Vậy \( N(-1; 0; 3) \).

5. Khoảng cách từ M đến AB là khoảng cách từ M đến N, và nó bẳng \( \sqrt{a^2 + b^2 + 4} \).

6. Để khoảng cách trên là nhỏ nhất, hàm số \( a^2 + b^2 \) phải nhỏ nhất và bằng 2 (theo (1)). Khi đó, \( a = 1 \) và \( b = 1 \).

Vậy, \( a^3 + b^3 + c^3 = 1 + 1 + 1 = \boxed{\textbf{D. } 1} \).

...Xem thêm

Answer 2